张明｜欧氏平面连续约当曲线至少含一个正方形

2022-02-01 本文已影响0人张明_专注理论经济学研究

张明
中国，杭州，浙江大学出版社
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摘要：欧氏平面上任一条连续约当曲线 $\gamma$ ，由它可决定一组长宽比为 $0～~\infty$ 的矩形族R。其中至少含有一个正方形S，它的4个角点位于该曲线 $\gamma$ 上。证明过程依赖于沃恩（Vaughan）定理的结果，并运用莫比乌斯带的变形——交叉帽，交互分析约当曲线 $\gamma$ 与交叉帽、莫比乌斯带的相关参数而得以证明。并证明曲线 $\gamma$ 上只能含有奇数个正方形。

关键词：四方钉问题，莫比乌斯带，交叉帽，拓扑学

1911年，托普里兹（Otto Toeplitz）询问：是否存在一个正方形，其4个角点“钉于”欧氏平面的任意约当曲线上？（四方钉问题，Square Peg Problem）

110余年来，人们在各个数学各个领域中探索。本杰明•马施克(Benjamin Matschke)对此有一个非常出色的简介。[1]

迄今最好的成果由Joshua Evan Greene 和 Andrew Lobb得出：“对于欧氏平面上的每条光滑约当曲线 $\gamma$ 和指定的某个矩形R，总存在一个相似于R的矩形，其顶点位于曲线 $\gamma$ 上。”[2] 正因为正方形是矩形的特类，所以“四方钉”问题在光滑曲线上得以解决。

本文的结论比上述成果更进一步，把“光滑的约当曲线”扩展为“连续的约当曲线”，即“对于欧氏平面上任一条连续的约当曲线 $\gamma$ 和指定的某个矩形R，存在相似于R的矩形，其顶点位于曲线 $\gamma$ 上”，而正方形即为对角线成直角的特殊矩形，由此彻底解决“四方钉”问题。进一步地，还证明曲线 $\gamma$ 上含有正方形的个数只能是类似1，3，5，...，的奇数。

在欧氏平面连续的约当曲线 $\gamma$ 上，取一定点 $P_1(x_1,y_1)$ ，而让另一动点 $P_2(x_2,y_2)$ 环绕整条曲线运行，两点之间连线的距离应是连续变化的，并且两点连线的方向与某一指定基准轴方向之间的夹角也应是连续变化的。进一步地，在曲线 $\gamma$ 的任意位置上取 $P_1(x_1,y_1)$ 点，重复让另一点 $P_2(x_2,y_2)$ 环曲线绕行，以上连线长度和夹角角度的连续性质仍将存在。

欧氏平面上约当曲线 $\gamma$ 自身的连续性，曲线上任意两点连线之间距离的连续性，以及任意两点连线方向与基准轴方向之间角度的连续性，三种连续性是本文的基础。（曲线上此三种连续性甚为简单，不另证明。）

1977年，沃恩（Vaughan）给出一个定理：“欧氏平面上每条连续约当曲线上肯定存在一个矩形。”[3]

证明即漂亮也简单。

在约当曲线 $\gamma$ 取上述两个点 $P_1(x_1,y_1)$ 、 $P_2(x_2,y_2)$ 连线中点的坐标 $P_m\left (\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right )$
在其上，定义函数

$D(P_m)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

即函数 $D$ 的值是在点 $P_1$ 和 $P_2$ 连线中点位置 $P_m$ 上取两点之间距离。

因 $P_1$ 和 $P_2$ 两点交换其坐标位置而 $D(P_m)$ 值不变，所以 $D(P_m)$ 在定义域（曲线 $\gamma$ 上）的全体取值在欧氏三维空间中形成了一个具有自交线的曲面，它的拓扑映射即为莫比乌斯带。曲面自交线上每一点都对应一个矩形(见图１)。

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图１.　曲线 $\gamma$ 、自交曲面和莫比乌斯带（来源：https://www.bilibili.com/video/BV1rs411x7sb）

最直观的证明过程可见视频《用莫比乌斯带巧解内接矩形问题：拓扑学的用处》。[4]

我们将在上述成果上起步。

若把约当曲线 $\gamma$ 拓扑映射为单位圆时（莫比乌斯带的另一种表象），由函数 $D$ 值形成的曲面变形成了交叉帽，在此将函数 $D$ 的确切值( $D$ 值曲面)也一并映射进交叉帽(见图2)。

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图2：交叉帽的形状和曲面

用不同高度(即 $P_1$ 、 $P_2$ 两点之间距离)水平面去截交叉帽，得到一条条等高线。可发现，某个高度（图2中 $l$ 点）以下，等高线是自身不相交的 $O$ 形曲线；其上是自身相交的8字曲线，且至最高点 $h$ 后消失。全体8字等高线相交处形成的 $l-h$ 曲线，即是交叉帽（莫比乌斯带）的自交线。而 $l-h$ 曲线上的任一点，都代表曲线 $\gamma$ 上的一个矩形。

由曲线 $\gamma$ 和两动点之间距离的连续性，可以断定交叉帽上等高线是连续的， $l-h$ 曲线也是连续的，从而曲线 $\gamma$ 上对应矩形对角线的长度变化也是连续的。但是，我们无从知道矩形两条对角线所夹的角度。

转回到欧氏平面的曲线 $\gamma$ 上，研究 $l-h$ 曲线两端点 $l$ 和 $h$ 的含义。瞬间就明白，它们分别是与“对面”曲线的最短距离 $d_l$ 和最长距离 $d_h$ 。图3的简单曲线 $\gamma$ 上，一眼就能看出最短距离 $d_l$ 和最长距离 $d_h$ 。

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图3：曲线 $\gamma$ 上最短距离 $d_l$ 和最长距离 $d_h$

不过任意约当曲线 $\gamma$ 的走向和形状十分复杂，这又如何判定最短距离 $d_l$ 和最长距离 $d_h$ 呢？

图4 示出某曲线 $\gamma$ 的一部分。为求得最短距离，于曲线 $\gamma$ 的 $O$ 处作圆，圆周与曲线 $\gamma$ 有四个交点。 $A$ 和 $A'$ 两点是“近邻”，与 $O$ 点邻接，而 $B$ 和 $B'$ 两点显然在 $A$ 点或 $A'$ 点之外。这两个“远邻”的 $B$ 和 $B'$ 点就处在“对面”曲线上。当 $O$ 点圆缩小半径，圆周与“对面”光滑曲线外切于 $D$ 点，或者与折线曲线接触于 $OD$ 点，此时圆半径 $OD$ 就是与“对面”曲线的最短距离。

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图4： $OD$ 是与“对面”曲线的最短距离

当 $O$ 点绕行曲线 $\gamma$ 一整周的过程中，重复以上过程所记录得到的最小半径 $OD$ ，就是整条曲线 $\gamma$ 上所有“对面”曲线之间的最短距离 $d_l$ 。

类似做法可以找到曲线 $\gamma$ 上“对面”曲线之间的最长距离 $d_h$ ，见图5 所示。

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图5： $OD$ 是与“对面”曲线的最长距离

据此且直观图3，可断定最短距离连线 $d_l$ 上存在着一个特殊矩形——两对角线夹角为0°。当然在最长距离连线 $d_h$ 上，也有一个两对角线夹角为0°的特殊矩形，不过也有180°的可能性。

判定连线 $d_h$ 上特殊矩形的两对角线夹角是0°或180°，也很简单。重新审视如图6所示一般表象的莫比乌斯带。 $l$ 端点矩形两对角线角度以红绿矢量同向示意，而两矢量相背而行至 $h$ 端点再遇时，红绿矢量已是反向。

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图6：位于 $l$ 与 $h$ 两点的矩形对角线矢量已换向

上已提及，整条 $l-h$ 曲线上对应矩形对角线的长度变化是连续的，但无法知道两条对角线所夹角度如何变化。而由红绿矢量在 $l$ 和 $h$ 两端点必定反向，可知两对角线夹角经历了0°至180°的变化。

而由本文开始所述的角度连续性知，在 $l-h$ 曲线上所有的矩形中，必有一个矩形的对角线夹角为90°，即为正方形。

于是，百十年来 “欧氏平面连续约当曲线必定含有一个正方形” 的结论终于水落石出了。（证毕）

随之询问： $l-h$ 曲线上可出现多少个正方形？

沿交叉帽上代表矩形的 $l-h$ 曲线移动时，很可能在某一段上，矩形两对角线夹角正转超过90°而不到180°，这对应出现一个正方形；随之的一段它又反转回来，这就又对应出现一个正方形。如此一个“摇摆”过程对应两个正方形。如果有多次“摇摆”，就对应着偶数个的正方形。当然，沿 $l-h$ 曲线移动，总有且仅有一段曲线对应矩形两对角线夹角旋转了180°（仅一个正方形），如此，整条 $l-h$ 曲线上可以出现的正方形个数就是奇数。

下图 7 是交叉帽上另画的 $l-h$ 曲线。此曲线在上升途中，分别于 $h'$ 和 $l'$ 处或朝下或朝上 “拐”了一个弯。局限于 $h'$ 点邻域曲线上观察，可以想象， $h'$ 处对应的矩形应是一个两对角线夹角并拢且角度为0°的特殊矩形，因为这是在 $h'$ 邻域曲线上对角线最长的矩形，除了夹角并拢别无可能。而在 $l'$ 处，矩形也应是两对角线夹角并拢的矩形，只不过它对应局部曲线上对角线最短的矩形。

按对角线长度永不为0且连续， $l'$ 和 $h'$ 两处终点与各自起点上对应矩形的对角线，或旋转了180°，或者是没有旋转的0°。

于 $l'$ 点和 $h'$ 点分割，可将 $l-h$ 曲线分为 $l- h'$ 、 $h'-l'$ 、 $l'-h$ 三段曲线。

三段曲线上总可以找到某一段特殊曲线，比如 $l- h'$ 曲线，两端点的两个矩形，其对角线刚好旋转了180°。按上述结论这表示其上有奇数个正方形。

而余下的两段曲线 $h'-l'$ 和 $l'-h$ ，矩形对角线夹角的旋转，或者两者都是180°，总计360°，或者两者都是0°。而不可能是一段为180°另一段为0°的组合。这是由图6莫比乌斯带上对角线矢量必然换向（180°）所决定的。

如果两者旋转都是180°，则是奇数加奇数为偶数个正方形。如果两者旋转都是0°，或者没有正方形（对应旋转角度小于90°）或者是偶数个正方形（对应来回摇摆于90°～180°之间）。总之余下的 $h'-l'$ 和 $l'-h$ 曲线上，正方形个数合计只能是偶数。所以 $l-h$ 整条曲线上正方形个数必然是奇数。

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图7：交叉帽上升、下降、再上升的自交线对应奇数个正方形

在更为一般的 $l-h$ 曲线上，如有一段掉头朝下的曲线，则必然伴随一段回头朝上的曲线。由此，可以把 $l- h$ 曲线分割成2 $n$ ＋1（ $n$ ＝0，1，2，…）段曲线。其中会有一段曲线上矩形对角线夹角旋转180°（奇数个正方形），其余曲线两两组合，夹角或旋转360°（偶数个正方形），或不旋转（零个正方形或偶数个正方形）。

所以整条 $l- h$ 曲线上共有奇数个正方形，换句话说，欧氏平面的任一条连续约当曲线 $\gamma$ 上，只能含有奇数个正方形。（证毕）

参考文献

[1] Benjamin Matschke, A Survey on the Square Peg Problem，https://www.ams.org/journals/notices/201404/rnoti-p346.pdf(2014).

[2] Joshua Evan Greene, Andrew Lobb, The Rectangular Peg Problem, Annals of Mathematics, 2021, 194(2): 509-517.

[3] Mark, D., Meyerson, balancing acts. Topol. Proc. 6(1), 59–75 (1981).

[4] 3Blue1Brown, 用莫比乌斯带巧解内接矩形问题：拓扑学的用处, https://www.bilibili.com/video/BV1rs411x7sb.

[5] Terence Tao, An integration approach to the Toeplitz square peg problem, Forum Math. Sigma 5 (2017), No. e30.

[6] Cole Hugelmeyer, Every smooth Jordan curve has an inscribed rectangle with aspect ratio equal to $\sqrt{3}$ , arxiv:1803.07417 (2018).

[7] Cole Hugelmeyer, Inscribed rectangles in a smooth Jordan curve attain at least one third of all aspect ratios, arxiv:1911.07336 (2019).

[8] Arseniy Akopyan, Sergey Avvakumov, Any cyclic quadrilateral can be inscribed in any closed convex smooth curve, arXiv:1712.10205 (2018).

张明｜欧氏平面连续约当曲线至少含一个正方形

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