线代--生成空间

若在二维空间中任何向量，都可以表示为和的线性组合，则可以说和生成整个二维空间。

在生成的二维空间中，如加入一个向量，那么向量组 也可以生成整个二维空间，这个二维空间中，任意一个向量都可以表示为这三个向量的线性组合。由于向量组已经生成了整个二维空间， 那么空间内任意一个向量都可以由的线性组合所表示，当向量加入进来之后，只要向量的组合常数取零，那么 三个向量的线性组合就可以表示任意一个向量，所以说生成整个二维空间。

生成一个二维空间，至少需要两个向量。

• 如果只有一个向量，如向量，通过一个向量的线性组合获得的向量一定在向量所在的直线上，因为一个向量前面乘以一个系数本质只是在对向量进行缩放。所以一个向量无法生成一个二维的面。
• 最少肯定也不是3个向量，因为如果已经存在两个向量不共线，那么这第三个向量就可以由前两个向量的线性组合所表示，在这种情况下，第三个向量就已经是多余的了。

推广到空间中，若空间中的任一向量都可以表示成的线性组合，则称这些向量可以生成这个空间。要生成一个维空间，至少需要个向量才能够生成。

其中，对于个向量，若这个向量存在共线向量，是不可以生成维空间的。

证明：当且仅当由个维向量的列向量组成的方阵A有逆的时候，可以生成整个维空间。
若个维向量生成整个空间，那么对于这个向量的列向量组成的系数矩阵与维空间中的任意一个向量组成的线性系统是一定有解的，也就是维空间里的任意向量都可以由生成空间的个维向量的一个唯一线性组合表示。由于是空间中任意一个向量，所以向量的分量是随机的(可能为是一个非零数)，因此线性系统的系数矩阵的行最简形式一定不能存在零行，若存在零行，那么矩阵无解， 向量组的线性组合无法表示空间内的向量 。
既然系数矩阵的行最简式都是非零行,那么线性系统满足个未知数和个方程，所以线性系统不可能有无穷解，只有有唯一非零解。此时当一个线性系统只有唯一解的时候，意味着对应的增广矩阵的系数矩阵一定是可逆的，因为只有可逆矩阵满足。