我们爱数学

趣味数学：5400 共有多少个约数？

2022-05-10 本文已影响0人易水樵

5400 共有多少个约数？求出所有约数乘积的质因数分解形式.

【解】

$5400=2^3\times3^3\times5^2$

所以，它的约数个数为： $(3+1)\times(3+1)\times(2+1)=48$ （个）

这些约数可以排列如下：

$2^0\times3^0\times5^0,2^1\times3^0\times5^0,2^2\times3^0\times5^0,2^3\times3^0\times5^0,$

$2^0\times3^1\times5^0,2^1\times3^1\times5^0,2^2\times3^1\times5^0,2^3\times3^1\times5^0,$

$2^0\times3^2\times5^0,2^1\times3^2\times5^0,2^2\times3^2\times5^0,2^3\times3^2\times5^0,$

$2^0\times3^3\times5^0,2^1\times3^3\times5^0,2^2\times3^3\times5^0,2^3\times3^3\times5^0,$

$2^0\times3^0\times5^1,2^1\times3^3\times5^1,2^2\times3^0\times5^1,2^3\times3^0\times5^1,$

$2^0\times3^1\times5^1,2^1\times3^1\times5^1,2^2\times3^1\times5^1,2^3\times3^1\times5^1,$

$2^0\times3^2\times5^1,2^1\times3^2\times5^1,2^2\times3^2\times5^1,2^3\times3^2\times5^1,$

$2^0\times3^3\times5^1,2^1\times3^3\times5^1,2^2\times3^3\times5^1,2^3\times3^3\times5^1,$

$2^0\times3^0\times5^2,2^1\times3^3\times5^2,2^2\times3^0\times5^2,2^3\times3^0\times5^2,$

$2^0\times3^1\times5^2,2^1\times3^1\times5^2,2^2\times3^1\times5^2,2^3\times3^1\times5^2,$

$2^0\times3^2\times5^2,2^1\times3^2\times5^2,2^2\times3^2\times5^2,2^3\times3^2\times5^2,$

$2^0\times3^3\times5^2,2^1\times3^3\times5^2,2^2\times3^3\times5^2,2^3\times3^3\times5^2.$

注意观察以上约数的特点.

质因数 $2$ 的指数范围是从 $0$ 到 $3$ ，有 $4$ 种情况；

质因数 $3$ 的指数范围是从 $0$ 到 $3$ ，有 $4$ 种情况；

质因数 $5$ 的指数范围是从 $0$ 到 $2$ ，有 $3$ 种情况；

所有这些可能的取值情况进行完全搭配，于是配出了 $48$ 个约数.

以上 $48$ 个约数相乘，利用乘法交换律，可以将底数相等的集中在一起，于是得到下式：

$P=\underbrace{(2^0\times2^1\times2^2\times2^3) \times\cdots (2^0\times2^1\times2^2\times2^3) }_{12}$

$\times\underbrace{(3^0\times3^1\times3^2\times3^3)\times\cdots(3^0\times3^1\times3^2\times3^3)}_{12}$

$\times\underbrace{(5^0\times5^1\times5^2)\times\cdots(5^0\times5^1\times5^2)}_{16}$

因为

$(0+1+2+3)\times 12 = 72$ ,

$(0+1+2)\times 16 = 48$

所以

$P=2^{72}\times3^{72}\times5^{48}$

【提炼与提高】

为小学生讲解数论问题，存在几方面的困难：

（1）小学生一般还是习惯于具体的 “算式”，这种用 $(\cdots)$ 来表示的式子，要求学生具备较高的抽象能力，需要一些时间适应；

（2）对于多数学生来说，“一万亿” 已经是很大的数字。类似于 $2^{72}$ 这样读不出来的数字，也需要一些时间适应.

针对问题2，也有很好的办法。「棋盘上的麦粒」是经典的故事，可以让学生较快地熟悉这种新的表达形式，顺便也接触了等比数列.

上一篇下一篇

猜你喜欢

热点阅读