四则运算的产生与演变

四则运算是指加法、减法、乘法、除法。对于人们的日常生活和生产实践，四则运算是极为重要的。

与自然数的抽象一样，加法也是人们在日常生活和生产实践中抽象出来的，并且，与自然数的抽象方法一样，加法也有两种抽象方法，一种是基于内涵的，一种是基于对应的。现行所有教科书，无论是小学的还是大学的，均采用基于内涵的方法。事实上，只有用对应的方法解释加法，才可能揭示加法的真正意义。

在小学数学教科书中，是用图形来解释加法运算的。这种解释方法更有效地体现了“数学研究的不是概念本身，而是概念之间的关系”。它突出了两个量之间的相等关系，左边=右边，进而揭示了等号的本质含义——等号两边讲述的是两个故事，符号表示这两个故事中的数量相等。这样的教学，既可以让学生感悟"数量相等"的本质，又可以让学生感悟到加法运算的基本特征，即加上一个正整数比原来的数大。用同样的方法，我们也可以解释减法。

一般人们认为，乘法是加法的简便运算，但事实上，问题并不是这样简单，需要分两种期情况讨论：一种是基于自然数集合的乘法，一种是基于整数集合的乘法。因为在自然数集合上，乘法是加法的简便运算。但在整数集合上，当乘数是负整数时，“乘法是加法的简便运算”这个命题就解释不通了。

为了得到一般结论，需要更加深入地理解乘法的运算法则。

交换律和分配律对于乘法运算是本质的，也就是说，这两个定律与乘法运算是等价的，也正因为这样，才可能把乘法运算由自然数集合扩充到整数集合，而且，必须能够证明扩充的唯一性。在数学的教学过程中，不可以简单地把运算法则理解为依附于运算的性质，而应当把运算法则理解为又运算的本质。

总结起来说，四则运算是数的运算中最基本，也是最重要的运算。减法、乘法、除法运算都是基于加法的，由加法的逆运算产生了减法，由加法的简便运算产生了乘法，由乘法的逆运算产生了除法；为了逆运算的封闭性，必须对数的集合进行扩充，在自然数集合、整数集合、有理数集合上都可以进行四则运算，但只要有理数集合对于四则运算是封闭的。

把数字媒运算抽象为符号运算，是数学表达最具创新性、最具革命性的一步，是近代数学得以发展的基础。

第一个有意识使用字母系数来表示抽象运算的是韦达。

基于字母的数学运算具有两个好处：一是字母可以像数一样进行运算；二是通过字母得到的结论具有一般性。

用字母代替数的抽象也经历了三个阶段：一是简约阶段，抽象出数量、用古典表达来表述这些数量；二是符号阶段，建立十进制系统、用数字符号和数位原则定义自然数；三是普适阶段，在方程等数学表达式中用字母符号代替数字符号。

数学的抽象一旦达到普适阶段，数学研究就进入到更高的层次，得到的结论也具有更加广泛的应用性。