Bloch 定理

前提

1. 绝热近似:原子核静止
2. 单电子近似：单电子所受的离子势场和其他所有的电子的平均势场具有同样的周期性
3. 周期性势场近似(由1、2自然得到,即没有1，2也就得不到)

Keywords：

Bloch波；Bloch电子；电子公有化运动；第一Brillouin区

结论

1.Bloch定理：

周期性势场中运动的单电子，其平移一个格矢时，其同一能量本征值的波函数只增加一个相因子,即除了一个与格矢有关的相因子外都相同

• 称为Bloch函数，其描述的电子称为Bloch电子
• Bloch定理确定了波函数的形式——不衰减的波(当然这一情况只出现在假设绝热，单电子近似的情形下)

2.两个推论：

推论1：

​ 如果将波函数写成调幅平面波的形式，即

​ 那么也具有同样的周期性

• 周期性势场中的运动电子的波函数时周期性调幅的平面波，反映电子在每个元胞内相同的运动情况

推论2：

​ 既然是波矢，那么如果是倒格矢，即,则

• 显然，在是倒格矢情况下与等价，即与等价，所以只需将限制在一个包括所有不等价的区域——第一Brillouin区

讨论：

1.常数因子的意义(波矢/波数)：

如果将调幅函数为1，即,则

• 时，对应的就是自由电子，而解就是平面波，这样的话就是波矢，用来描述不同状态下的量子数
• 的形式与离子实构成的周期势场有关，与电子气体模型不同，离子实并非是均匀抹平的正电背景，而是周期性势场，因而实际上

2.Bloch波这种形式意义：

• 电子空间分布是一个周期性起伏的函数
• 相位因子使Bloch波与平面波类似，在整个晶体中出现，不会衰减
  • 不局限于某个区域，而是整个空间
  • 对所有原子一样，不限制在某个原子
  • Bloch电子是整个空间共有的!
• 因此可以只限定在某个原胞内解薛定谔方程

3.离子实对电子的散射相干性

• 周期性调幅因子与离子实有关，但它除了使电子分布起伏外，并没有阻碍电子的到处出现
• 周期性排列的离子实对电子的散射是相干散射，产生一个相位因子，因此这样的散射不是产生电阻的机制

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