线性代数之矩阵

矩阵

数学中的矩阵是指方括号扩起来的一组数据，如下

矩阵

通常我们用维数来描述矩阵行数和列数，如上例就是一个2x2维的矩阵，

2x2维矩阵

我们用中括号或者下标来表示对应位置的数值，如下：

表示第一行第二列的数值

矩阵的加法和减法

先看一个例子：

矩阵A+矩阵B

矩阵的加法就是对应位置的数值相加，比如A[1, 1] + B[1,1] = 1 +2 = 3，相加的结果作为新矩阵同样位置的数值。相减同样道理不再赘述。
需要注意的是，相加和相减运算的两个矩阵需要保证维数相同，本例中它们都是2x3维的矩阵

矩阵的乘法

矩阵的乘法不像加法理解起来那么直观，而且乘法的两个矩阵是有顺序的，还是先看例子：

AxB

计算过程如下：
1，取出矩阵A的第一行得到一个行向量，即[1, 2, 3]
2，取出矩阵B的第一列得到一个列向量，即[2, 3, -1]
3，让这两个向量的对应位置的值相乘，然后求和，即1x2 + 2x3 + 3x(-1)，结果为5，这个值作为结果矩阵[1, 1]位置的值。
4，以此类推，计算出其它位置的值。

注意：从计算过程我们可以看出要想两个矩阵相乘，必须满足前一个矩阵（这里是A）的列数等于后一个矩阵（这里是B）的行数，A是一个2x3矩阵，B是一个3x2矩阵，最后得出是2x2矩阵（A的行数xB的列数）。从计算过程我们也可以知道AxB和BxA结果是不同的，所以矩阵的乘法是有顺序的，这一点跟跟普通的数字相乘不同，需要注意。

矩阵的逆

在讲矩阵的逆之前，我们先要了解方阵和单位矩阵的概念。
方阵是指行数和列数相等的矩阵，顾名思义就是方的。假设我们有如下方阵：

方阵A

单位矩阵是指如下形式的矩阵形式：

单位矩阵

假设我们用I来表示单位矩阵，单位矩阵可以使得AxI = IxA = A，即如下：

单位矩阵公式

假设存在另一个矩阵与矩阵A相乘可以得到单位矩阵，我们就称它们互为逆矩阵，如下：

逆矩阵

那么我们如何可以得到某一个矩阵的逆矩阵呢？在解答这个问题之前，我们再引入一个概念叫做行列式(determinant)，假设有一个矩阵A，那么A的行列式记作|A|，我们以二阶行列式（二维）为例，计算方法如下：

二阶行列式计算

关于高阶行列式的计算会相对复杂，主要涉及余子式概念（minors)，感兴趣的同学可以自己搜索下。
这里我们以二阶为例来说明如何计算逆矩阵，以上图中的A矩阵为例，其逆矩阵计算方法如下：

逆矩阵计算

图中的矩阵我们叫作A的伴随矩阵（adjugate of matrix A)，可以记作adj(A)，关于高阶伴随矩阵如何计算，将在以后的文章中再继续讨论，现在需要知道的就是A的逆矩阵可以通过如下公式计算：

逆矩阵计算

下面我们来看一个实际的例子

逆矩阵计算过程

感兴趣的同学可以验证下是否A和A的逆矩阵相乘为单位矩阵。本次关于矩阵的一些基本概念先介绍到这，后续会再进一步介绍高阶矩阵的相关计算过程。