2018年9月24日，中国人正在热热闹闹的过着中秋佳节，被誉为当代最伟大数学家之一的迈克尔·阿蒂亚在德国海德堡获奖者论坛上作了关于黎曼猜想证明的报告。对黎曼猜想还不是特别清楚的，可以去公众号翻我的上一篇文章《数学大地震：一个半世纪悬而未决黎曼猜想被证明？它到底说了啥》。

 

159年悬而未决的顶级数学难题；极富创造力却英年早逝，珍贵手稿又被管家付之一炬的天才数学家黎曼；菲尔兹奖、阿贝尔奖的获得者，89岁高龄的伟大数学家阿蒂亚爵士。这些素材汇集在一起，在互联网时代的今天想不火一把都是不可能的，于是阿蒂亚爵士作报告的时候，理所当然的就把主办方的服务器搞爆了。

其实，在阿蒂亚正式作报告的前两天，一份只有5页署名为阿蒂亚的证明黎曼猜想的论文就刷爆了朋友圈。很多人的第一反应是：5页？怎么可能只用5页就证明了黎曼猜想？是不是哪里搞错了？这个预印版是其他人冒充阿蒂亚写的吧？但是，当阿蒂亚正式做报告的时候，大家发现原来那个只有5也的论文真的是阿蒂亚写的。并且，阿蒂亚在他做报告里只花了一张PPT介绍了黎曼猜想的证明。

于是各大社交网络上就炸锅了，大家纷纷对阿蒂亚开启了群嘲模式：认为阿蒂亚是老糊涂了；认为这不仅不算证明了黎曼猜想，连一个像样的证明都不算；认为阿蒂亚一世英名，现在搞得晚节不保；再把同行对此不予置评，把阿蒂亚作报告的时候的尴尬给放大。一时间，搞得好像全世界都是聪明人，就阿蒂亚一个人是笨蛋似的。考虑到阿蒂亚现在已经是89岁高龄，大众似乎就能更加心安理得的去群嘲一把，牛顿晚年还研究神学呢！

 

那么这到底是个什么事情？一个好好的数学事件怎么好像被带成了娱乐八卦事件？阿蒂亚到底是怎么试图去证明黎曼猜想的？黎曼猜想到底是被证明了还是被证伪了，能不能给个准信？

 

长尾科技接下来就跟大家好好聊聊这件事，把这件事里里外外说清楚然后大家自己去做判断。毕竟，长尾科技不希望这样一个科普的大好机会被一些营销号带节奏带偏了，借用叨叨魏的口头禅：“科学是我评判的唯一标准。”

 

阿蒂亚是怎么证明黎曼猜想的？

阿蒂亚证明黎曼猜想的论文《THE RIEMANN HYPOTHESIS》（翻译过来就是《黎曼猜想》，这论文的原文和PDF格式的下载地址我会在公众号的第二篇文章给出）分为5部分：

 

第一部分做了一个简单的介绍；

 

第二部分介绍了用来证明黎曼猜想最关键的Todd函数；

 

第三部分是利用Todd函数证明黎曼猜想；

 

第四部分再来解释为什么Todd函数可以这么牛，解释Todd函数背后的秘密；

 

第五部分做了一下总结和展望。

 

黎曼猜想的证明是在第三部分的这一段：

下图是证明黎曼猜想的那一张幻灯片：

接下来我们说一下阿蒂亚的证明思路，老爷子采用的是反证法：

 

黎曼猜想不是说黎曼Zeta函数ζ的非平凡零点（实部位于0到1之间的零点，详见上篇文章）的实部全部都是1/2么？那么我就假设黎曼Zeta函数ζ有一个非平凡零点b处在临界区域（就是0到1这个临界区域，英文对应critical strip的部分），但是它不在临界分界线1/2（就是critical line）上，不在1/2这条临界线上就是不等于1/2的意思。

 

那么接下来我只要证明b的存在会导致矛盾，就能够证明假设不成立。因为b是随意取的一个点，所以就证明了任意一个点都不可能在0到1这个临界区域内不等于1/2，也就是证明了黎曼猜想。

 

然后老爷子构造了一个新的函数：F(s) = T{1 + ζ(s + b)} – 1（这个T就是我们前面提到的Todd函数）。从这个函数非常简单（起码老爷子觉得简单或者隐藏其它步骤）的就推导出来了F(s) = 2F(s)（论文是这个，在幻灯片里是F(2s) = 2F(s)，不知道到底该听哪个），于是F(s)就必须恒等于0，从而推出黎曼Zeta函数ζ恒等于0，这显然是矛盾的。

 

于是，黎曼猜想证明完毕！

 

这下子你们知道为什么老爷子关于黎曼猜想的证明为什么这么短了吧？你要在他的这篇论文里再扣细节也抠不出什么东西出来。在老爷子的眼里：在Todd函数这种神兵利器的帮助下，黎曼猜想的正确性简直不言自明，完全是显而易见的。在老爷子的心里，发现这个Todd函数才是最重要的，证明黎曼猜想只不过是顺带的事。

 

但关键是：如此重要的Todd函数，老爷子在这篇论文里并没有做过多的介绍，大家压根就不知道Todd函数的细节，当然也就不知道为什么Todd函数构造的那个F(s)会那样“显而易见”的导出矛盾。

 

所以，老爷子这场关于黎曼猜想的证明说了跟没说差不多，不懂的还是照样不懂，怀疑的还是照样怀疑，只不过把矛盾从黎曼猜想转移到这个神奇的Todd函数里来了。

 

但是老爷子自己说，这篇论文里虽然没有给出Todd函数的详细说明，但是在他的另一篇论文《THE FINE STRUCTURECONSTANT》（翻译过来是《精细结构常数》，同样，长尾君在公众号的第二篇一样会把它的下载地址奉上，有兴趣的可以去看看原文）里有Todd函数的详细说明。老爷子已经把这篇17页的论文提交给英国皇家学会会刊，但是还没发表（不要问为什么长尾科技会有还没发表的论文~）

 

Todd函数和精细结构常数α

Todd函数是以阿蒂亚的老师J.A.Todd命名的，这个函数跟精细结构常数α息息相关，也跟黎曼猜想息息相关。它们之间的关系，阿蒂亚说他的手稿显示：在黎曼Zeta函数的临界线，也就是实部等于1/2的这一条线上，Todd函数的极限刚好是精细结构常数α。

上面这句话是问题的关键，也是真正最不可思议的地方，如果数学里黎曼Zeta函数跟物理学里的精细结构常数之间存在一种这样的关系，那是非常不可思议的。在上一篇文章里长尾科技也提到，黎曼Zeta函数的不平凡零点居然和物理里的某种能级能对应上，数学和物理之间这种不可描述的关系确实让人困惑。

 

精细结构常数α是一个无量纲（通俗讲就是没有单位）的物理常数，这个常数让物理学家一头雾水。一般的物理学常数都是有单位的，比如光速c的单位是m/s，普朗克常数h的单位是J·s，电荷e的单位是C，真空介电常数ε0的单位是F/m。但是，奇怪的是，把这几个物理常数组合在一起形成的这个精细结构常数α=e2/(4πε0ch)（如下图）刚好把所有的单位抵消了，它就变成了一个纯数字，它的值大约等于1/ 137.03599913。

当然，物理学家一头雾水不会只是因为它没有单位，这个由其他几个常数组合而成的无量纲常数在物理学里有非常重要的意义。比如，它可以用来度量带电粒子与电磁场的作用强度，受激发的原子发射光子的速度就由它决定。再比如，在物理学里有一种劈裂现象：电子在原子核周围运动时会产生磁场，磁场又会影响其他的电子，使原子能级发生细微的变化，这种变化会通过原子发射光的波长变化体现出来，而能级劈裂的宽度正比于α，这在太阳和恒星光谱中都存在。

看过我上一篇文章的可能有点印象，为什么又是能级？上篇文章不是刚说黎曼Zeta函数的不平凡零点跟原子能级有种什么惊人的相似么？这里怎么原子能级又和精细结构常数α有某种关系？难道数学上的黎曼Zeta函数真的和物理上的精细结构常数α有某种关系？我不知道，但是阿蒂亚老爷子说有关系，他的Todd函数就是联系这两者一个桥梁。但是到底是什么关系，哪种关系，在老爷子没有公布更多细节的时候长尾科技也不得而知。

 

这种无量纲常数背后到底有什么意义？物理学家们也一直在思索这个问题。是宇宙碰巧选择了137.03599913这样一个数字，还是这后面暗示着某种更深层的关联，更深刻的理论？物理学家们多次试图从现有理论中导出精细结构常数α，但是都一无所获。这样看来，阿蒂亚爵士这次宣称发现了精细结构常数α和黎曼Zeta函数之间的某种关系，这就不仅仅是是一个纯粹的数学问题，也是一个物理问题了。

 

另一个阿蒂亚

阿蒂亚爵士早期的研究集中在代数几何领域，20世纪70年代以后转向了物理的规范场论，他对杨米尔斯方程（就是杨振宁发现的那个）的研究进一步揭示了几何和物理之间的重要关系，这些对威腾进行超弦理论的研究起了很大的作用。有这样的背景，我们对阿蒂亚把数学物理放在一起研究，并得出这样的结论也就不奇怪了。

 

所以，阿蒂亚爵士看黎曼猜想的思路跟其他人是不一样的。其他人一旦决定要向黎曼猜想发起冲击，就去在数学里绞尽脑汁，使用各种数学方法来解决它，最后发现证明不了；阿蒂亚可能就是在研究数学物理的时候偶然发现了他们之间的某种联系，然后这种联系刚好可以用来解释黎曼猜想。

 

于是，这两拨人就对不上号了。数学界搞黎曼猜想的那波人可能都是数论上的专家，在数论这种最纯的数学领域捣鼓这么久的，一般跟物理学关系不大，因为虽然数学和物理之间有很多联系（比如广义相对论要用到黎曼几何），但是一般跟纯数论没什么关系。所以阿蒂亚说他这次提供的是全新的思路，跟他们以前的套路完全不一样。

 

阿蒂亚自己说：“解决黎曼假设，你就会成名。但如果你已经出名，你就有可能变得臭名昭著。”

 

阿蒂亚是哪种人？一个89岁高龄还在研究数学物理的耄耋老人；一个获得了数学界最高奖项菲尔兹奖和阿贝尔奖，被称为当代最伟大数学家之一的人；一个已经完全功成名就，却要冒着晚节不保的风险来趟黎曼猜想这趟浑水的“笨蛋”。

 

除了真爱，找不到其它的解释。

 

这些事情很容易让人想起了爱因斯坦。爱因斯坦后半生一直在做统一场论的研究，他也因此招致了很多嘲讽，很多人说他不识时务，把自己的大好智力资源浪费在统一场论这种不可能有结果的研究里。更有甚者，直接说就算没有爱因斯坦后半生的工作，物理学该怎么发展照样会怎么发展！如果后来爱因斯坦的统一场论做成功了，这些负面的信息自然会全部洗白，变成诸如卧薪尝胆，忍住寂寞坚定不移走自己路的爱因斯坦最终发现了更伟大的统一场论。

 

但是爱因斯坦自己是怎么想的呢？统一场论这种物理学里的终极硬骨头，其难啃的程度可想而知，爱因斯坦说他现在已经功成名就什么都有了，有终生教职也不怕丢饭碗，那么像统一场论这种最难啃的硬骨头不由我来啃由谁来？我就算失败了也没有关系，但是如果是一些年轻的物理学家来做这个，他们就可能是在自毁前程，所以“聪明”的物理学家应该挑选那种容易出成果容易发论文的领域做研究，这样才叫识时务者为俊杰。

 

而且，爱因斯坦虽然没有给出统一场论的终极方程，但是他的工作真的就是没意义的么？他探索了很多可能的方向，自己亲自去趟地雷，排除了很多错误的方向，这也给后来的物理学家省了不少事。更不用说，他们还趟出了一条正确的康庄大道，只不过当时他们没有意识到而已：外尔因为仰慕爱因斯坦跑来跟他一起做统一场论的工作，他提出了规范场的思想，这种思想后来被杨振宁发扬光大，成了20世纪下半页最重要的物理思想，成功统一了电磁力、强力、弱力的标准模型就是建立在规范场论之上的。

爱因斯坦去世的时候，手上还拿着笔，纸上还留着半个没写完的方程，考虑到阿蒂亚现在已经是89岁高龄，他现在的处境，跟爱因斯坦多少有点相似。

 

如何看待阿蒂亚证明黎曼猜想这个事？

把话题重新再拉回证明黎曼猜想的这个主题，这个事情的脉络我想大家大致已经弄清楚了，那么我们该怎么看这个事呢？

 

首先，长尾科技觉得，如果仅仅抓着老爷子5页论文和1页PPT的证明，看到它这么短就对老爷子冷嘲热讽是不道德也是不科学的。长尾上面已经说了，老爷子证明这么短的原因，是因为证明的核心在那个联系了黎曼Zeta函数和精细结构常数α的Todd函数里面，而现在我们对Todd函数的细节还知之甚少。

 

然后，我们就要开始对老爷子的Todd函数进行严格的审查（当然这些工作有专门的科学家去做，就不牢吃瓜群众费心了）。因为老爷子说这个函数是跟数学和物理都密切相关的，而且他这种思想完全是一种新思路，因此这个审查可能会比较麻烦。

 

审查的结果无非是这么几种，我们一一来分析一下：

 

第一种，Todd函数正确的联系了精细结构常数和黎曼Zeta函数，并且用这种新思路去看待黎曼猜想是自然而然的。这当然是个皆大欢喜的结局，老爷子的故事会被封神，数学里的纯数论和物理学建立起了一种全新的联系，在这种全新的思路下，很多以前百思不得其解的问题也可以迎刃而解。黎曼猜想宣布被攻破，我等吃瓜群众又少了一个赚100万美刀的途径，真是痛心疾首~

 

第二种，Todd函数正确的联系了数学和物理，给出了精细结构常数的一种新的解释，但是这个思想在证明黎曼猜想上有漏洞有错误。一次性证明如此复杂的问题而没有任何漏洞是不可想象的，好在这不是限时交卷的题目。如果漏洞被成功补上，那么回到第一种情况，如果是不可补救的，那么黎曼猜想的证明就宣告失败，100万美金大家还有希望。

 

但是，如果老爷子没能成功证明黎曼猜想，却给出了一个切实有用的联系数学和物理的新理论，这一样是非常伟大的了不起的成就。你知道在原来两种不相关的领域建立了一种联系这意味着什么？正是法拉第他们发现了电和磁之间有某种联系，后来才有麦克斯韦统一了电磁学，并顺手解决了光，并牢牢占据了物理学排行榜第三的位置。老爷子可能会因此成为某个新的学科的奠基人。

 

第三种，联系黎曼Zeta函数和精细结构常数的Todd函数是有问题的。这样的话，老爷子试图在数学和物理之间试图做的这种尝试就宣告失败，但是即便这样，这里还有几个小情况要分清楚。

 

如果老爷子的出发点是对的，比如发现了精细结构常数和黎曼Zeta函数之间有某种关系，但是他后来走的方向错了（就像外尔最早提出了规范场的概念，但是却没走通这条路，一直等到杨振宁才把这条路打通），结果导致最后计算的结果有问题。那么，老爷子就不是某个新学科的奠基人，而只是先驱了。

 

如果老爷子连最开始的出发点都是错的，是想当然想出来的，然后计算方法上自己又弄错了，最后把答案凑对了。这种时候我们在佩服老爷子的勇气和对科学的真爱的同时，就真的只能感叹：岁月是把杀猪刀，英雄也有迟暮的时候，老爷子是真的老了。

 

但是，不论是哪一种情况，我们要科学的下结论也得等到科学界对Todd函数的彻底审查完成之后，现在下任何结论都还为时尚早，都是不负责任的！

 

结语

作为一个自媒体人，长尾科技也深知：如果我现在“顺应民意”的去把阿蒂亚爵士给嘲弄一番的话，可以博得很多关注度，也可以带来很多流量，而对媒体来说，流量基本上就意味着一切。

 

但是这么做明显的不科学的，我有什么资格去嘲弄阿蒂亚爵士？我有什么资格现在就去下如此肯定的结论？

 

我是看到了Todd函数的所有细节，明白无误的发现阿蒂亚用Todd函数联系黎曼Zeta函数和精细结构常数之间出现了不可调和的错误？不，我没有！

 

我是看到了Todd函数证明黎曼猜想的过程中出现了明显的逻辑漏洞不？不，我压根都还不知道Todd函数到底有啥功能。

 

我是从审查这个工作的权威科学家的口中听说他们已经否定这个结果了？不，权威的科学家们的态度都是不予置评（报告才过去两天，科学家们审查也要时间，更何况是这种新思路），反倒是吃瓜群众的键盘下热闹得很。

 

那长尾君可以凭借什么呢？凭借网络上大家都不看好他么？还是，墙倒众人推，法不责众，识时务者为俊杰？这些原则在为人处世上面可能确实很管用，但是在科学研究上就不是这么好使了。

 

科学就是认死理，讲证据，其他的都不顶用。

 

从某种意义上来说，中国这种人情社会，讲关系，讲捷径，只注重目的不注重手段的方式跟现代科学的思维方式是不太相符的，也是我们在学习科学的时候要重点注意的。于是乎，这些就成了长尾科技做科普时的重要任务了。

 

大家关注我的公众号是带着信任来的，而信任是最可贵的东西，一旦失去了，用黄金都买不回来。我在公众号里写文章普及科学的思想以及思维方式，如果我自己为了流量去下一些不科学的结论，这不是啪啪啪打自己的脸么？那这样以后还怎么好意思去写文章？

 

阿蒂亚和黎曼猜想是科学界的一件大事，这个事在国内的社交网络上被刷得异常火爆，这是一个做科普的绝好机会。长尾君不希望这件原本是科学界的新闻最后慢慢演变成了娱乐八卦新闻，中国比任何一个国家都不缺娱乐八卦。

 

最后，再响应一下标题：

 

问：89岁的阿蒂亚到底有没有成功证明黎曼猜想？

 

答：在权威的科学家们对阿蒂亚的Todd函数的审查结果出来之前，长尾科技拒绝对此做任何无根据的揣测，不予置评，这也是对长尾科技的粉丝们负责。当然，如果你是想了解黎曼猜想或者相对论的事情，来来来，你坐下，长尾君有一马车的话要说~

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