1. 频域高通滤波

频域高通滤波是一种数字图像处理技术，通过在频域中对图像进行处理增强图像的高频成分，从而达到锐化图像边缘和细节的目的。

高频成分： 图像中的高频成分对应着图像的边缘、纹理等细节信息。
低频成分： 图像中的低频成分对应着图像的平滑区域。

1.1 频域高通滤波和空域高通滤波

频域高通滤波和空域高通滤波都是为了增强图像的边缘和细节，但它们在工作原理、实现方式、滤波效果等很多地方有所不同。

1. 处理域的不同

• 频域高通滤波： 将图像从空间域变换到频率域，通过设计高通滤波器，在频域中对图像的频率成分进行滤波，再将结果转换回空间域。
• 空域高通滤波： 直接在图像的空间域上，利用卷积操作和预定义的滤波器模板对图像进行处理。

2. 实现方式不同

• 频域高通滤波： 基于傅里叶变换的原理，将图像分解为不同频率的成分，通过滤波器保留高频成分，抑制低频成分。
• 空域高通滤波： 通过模板与图像像素的卷积运算，实现对图像的滤波。高通滤波模板通常具有中心为正值，周围为负值的结构，用于增强图像的边缘和细节。

3. 滤波效果不同

• 频域高通滤波：

  • 能够更精确地控制图像的锐化程度，但容易产生振铃现象。
  • 对噪声比较敏感，容易放大高频噪声。

• 空域高通滤波：

  • 实现简单，但锐化效果可能不如频域滤波器。
  • 对噪声的鲁棒性相对较好。

4. 应用场景不同

• 频域高通滤波：

  • 适用于对图像锐化程度要求较高，且对噪声不敏感的场合。
  • 常用于图像增强、边缘检测等领域。

• 空域高通滤波：

  • 适用于对实时性要求较高，且对计算资源有限的场合。
  • 常用于图像预处理、特征提取等领域。

简单归纳一下频域高通滤波和空域高通滤波的区别：

特征	频域高通滤波	空域高通滤波
原理	频域变换，增强高频	空间域卷积
实现	傅里叶变换，逆变换	卷积运算
滤波效果	锐化效果好，易产生振铃	锐化效果较好，对噪声鲁棒
应用	高精度锐化，边缘检测	实时处理，特征提取

1.2 频域高通滤波分类

常用的频域高通滤波器包括：

• 理想高通滤波器(IHPF)：具有一个明确的截止频率，高于截止频率的频率成分全部通过，低于截止频率的频率成分全部被阻挡。
• 巴特沃斯高通滤波器(BHPF)： 在通带内，频率响应曲线非常平坦，保证了信号的原始特性。在阻带内，信号被逐渐衰减，有效地抑制了噪声和其他干扰信号。
• 高斯高通滤波器(GHPF)：通过将一个高斯低通滤波器从一个全通滤波器（即传递函数为1的滤波器）中减去得到的。换句话说，高斯高通滤波器就是让高频成分通过，而衰减低频成分。

2. 理想高通滤波器

理想高通滤波器的传播函数可以表示为：

其中， 是截止频率，D(u,v) 表示频域中一点到频域中心的距离。

理想高通滤波器的特点如下:

• 截断频率分明: 高于截止频率的成分全部通过，低于截止频率的成分完全阻挡。
• 频谱中出现明显的振铃现象: 由于理想滤波器的频谱是一个矩形函数，在进行傅里叶逆变换时，会导致图像边缘出现振铃现象。
• 对噪声敏感: 理想高通滤波器会放大高频噪声，导致图像质量下降。

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core.hpp>
#include <opencv2/highgui.hpp>
#include <random>

using namespace std;
using namespace cv;

// 理想高通滤波核函数
cv::Mat ideal_high_kernel(cv::Mat &scr, float d0)
{
    cv::Mat ideal_high_pass(scr.size(), CV_32FC1);
    for (int i = 0; i < scr.rows; i++) {
        for (int j = 0; j < scr.cols; j++) {
            float d = sqrt(pow(float(i - scr.rows / 2), 2) + pow(float(j - scr.cols / 2), 2));//分子,计算pow必须为float型
            if (d <= d0) {
                ideal_high_pass.at<float>(i, j) = 0;
            }
            else {
                ideal_high_pass.at<float>(i, j) = 1;
            }
        }
    }
    return ideal_high_pass;
}

// fft 变换后进行频谱中心化
void fftshift(cv::Mat &plane0, cv::Mat &plane1)
{
    int cx = plane0.cols / 2;
    int cy = plane0.rows / 2;
    cv::Mat q0_r(plane0, cv::Rect(0, 0, cx, cy));  // 元素坐标表示为(cx, cy)
    cv::Mat q1_r(plane0, cv::Rect(cx, 0, cx, cy));
    cv::Mat q2_r(plane0, cv::Rect(0, cy, cx, cy));
    cv::Mat q3_r(plane0, cv::Rect(cx, cy, cx, cy));

    cv::Mat temp;
    q0_r.copyTo(temp);  //左上与右下交换位置(实部)
    q3_r.copyTo(q0_r);
    temp.copyTo(q3_r);

    q1_r.copyTo(temp);  //右上与左下交换位置(实部)
    q2_r.copyTo(q1_r);
    temp.copyTo(q2_r);

    cv::Mat q0_i(plane1, cv::Rect(0, 0, cx, cy));  //元素坐标(cx,cy)
    cv::Mat q1_i(plane1, cv::Rect(cx, 0, cx, cy));
    cv::Mat q2_i(plane1, cv::Rect(0, cy, cx, cy));
    cv::Mat q3_i(plane1, cv::Rect(cx, cy, cx, cy));

    q0_i.copyTo(temp);  //左上与右下交换位置(虚部)
    q3_i.copyTo(q0_i);
    temp.copyTo(q3_i);

    q1_i.copyTo(temp);  //右上与左下交换位置(虚部)
    q2_i.copyTo(q1_i);
    temp.copyTo(q2_i);
}

// 频率域滤波
cv::Mat frequency_filter(cv::Mat &src, cv::Mat &blur)
{
    Mat mask = src == src;
    src.setTo(0.0f, ~mask);

    // 创建一个双通道矩阵 planes，用来储存复数的实部与虚部
    Mat planes[] = {src.clone(), cv::Mat::zeros(src.size() , CV_32FC1) };

    Mat complexI;
    merge(planes, 2, complexI); // 合并通道 （把两个矩阵合并为一个2通道的Mat类容器）
    dft(complexI, complexI); // 进行傅立叶变换，结果保存在自身

    // 分离通道（数组分离）
    cv::split(complexI, planes);

    // 频谱中心化
    fftshift(planes[0], planes[1]);

    //  H(u, v) * F(u, v)
    Mat blur_r, blur_i, dst;
    multiply(planes[0], blur, blur_r);  // 滤波（实部与滤波器模板对应元素相乘）
    multiply(planes[1], blur, blur_i);  // 滤波（虚部与滤波器模板对应元素相乘）
    Mat planes1[] = {blur_r, blur_i };

    // 频谱中心化
    fftshift(planes1[0], planes1[1]);
    merge(planes1, 2, dst); // 实部与虚部合并

    // 傅里叶逆变换
    idft(dst, dst);       // idft 结果也为复数
    dst = dst / dst.rows / dst.cols;

    split(dst, planes1);//分离通道，主要获取通道

    return planes1[0];
}

int main()
{
    Mat src = imread(".../girl.jpg");
    imshow("src", src);

    Mat gray;
    cvtColor(src, gray, COLOR_BGR2GRAY);
    imshow("gray", gray);

    // 扩充边界
    int w = getOptimalDFTSize(gray.cols);
    int h = getOptimalDFTSize(gray.rows);

    Mat padded;
    // 常量法扩充图像边界，常量 = 0
    cv::copyMakeBorder(gray, padded, 0, h - gray.rows, 0, w - gray.cols, cv::BORDER_CONSTANT, cv::Scalar::all(0));
    padded.convertTo(padded, CV_32FC1);

    float D0 = 5.0f;
    Mat kernel = ideal_high_kernel(padded, D0);
    Mat dst = frequency_filter(padded, kernel);

    convertScaleAbs(dst, dst);
    imshow("dst", dst);

    waitKey(0);
    return 0;
}

灰度图像vs理想高通滤波的效果.png

3. 总结

本文介绍了频域高通滤波、理想低通滤波器，以及频域高通滤波和空域高通滤波的区别。

理想高通滤波器也是在理论上具有完美的滤波效果，但在实际应用中却存在着严重的振铃现象和对噪声敏感的问题。因此，在实际图像处理中会采用一些近似的滤波器，如巴特沃斯高通滤波器、高斯高通滤波器等来替代理想高通滤波器。