高中奥数 2022-03-16

2022-03-16 本文已影响0人不为竞赛学奥数

2022-03-16-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P056 习题01）

已知 $a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ .求 $\dfrac{a}{b+3c}+\dfrac{b}{8c+4a}+\dfrac{9c}{3a+2b}$ 的最小值.

解

令 $b+3c=x$ , $8c+4a=y$ , $3a+2b=z$ ,则

原式 $=\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{4x}{y}\right)+\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{9x}{z}\right)+\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4z}{y}+\dfrac{91}{4}\right)\geqslant \dfrac{61}{48}$ .

2022-03-16-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P056 习题02）

若椭圆 $\dfrac{x^{2}}{m^{2}}+\dfrac{y^{2}}{n^{2}}=1\left(m,n>0\right)$ 经过点 $p\left(a,b\right)\left(ab\ne0,\left|a\right|\ne\left|b\right|\right)$ ,求 $m+n$ 的最小值.

解

不妨设 $m,n\in \mathbb{R}^{+}$ , $a,b\in \mathbb{R}^{+}$ ,令 $a=m\cos \alpha$ , $b=n\sin \alpha$ ,其中 $a\in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ ,则
$\begin{aligned} \left(m+n\right)^{2}&=\left(\dfrac{a}{\cos \alpha}+\dfrac{b}{\sin \alpha}\right)^{2}\\ &=\dfrac{a^{2}}{\cos ^{2}\alpha}+\dfrac{b^{2}}{\sin ^{2}\alpha}+\dfrac{2ab}{\sin \alpha\cos \alpha}\\ &=a^{2}\left(1+\tan ^{2}\alpha\right)+b^{2}\left(1+\dfrac{1}{\tan ^{2}\alpha}\right)+\dfrac{2ab\left(1+\tan ^{2}\alpha\right)}{\tan \alpha}, \end{aligned}$
记 $\tan \alpha=t$ ,则 $t\in \mathbb{R}^{+}$ ,故
$\begin{aligned} \left(m-n\right)^{2}&=\left(a^{2}+b^{2}\right)+a^{2}t^{2}+\dfrac{b^{2}}{t^{2}}+\dfrac{2ab}{t}+2abt\\ &=a\left(at^{2}+\dfrac{b}{t}+\dfrac{b}{t}\right)+b\left(\dfrac{b}{t^{2}}+at+at\right)+\left(a^{2}+b^{2}\right)\\ &\geqslant a\cdot 3\sqrt{3b^{2}}+b\cdot 3\sqrt{a^{2}b}+\left(a^{2}-b^{2}\right). \end{aligned}$
因此 $\left(m+n\right)_{\min}=\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}$ ,等号当 $t=\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}$ 时成立.

注:也可以用Cauchy不等式来解.

由于 $\left(a^{\frac{1}{3}}\cos \alpha+b^{\frac{1}{3}}\sin \alpha\right)^{2}\leqslant \left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)\left(\sin ^{2}\alpha+\cos ^{2}\alpha\right)$ ,故
$\begin{aligned} &\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{a}{\cos \alpha}+\dfrac{b}{\sin \alpha}\right)\\ \geqslant &\left(a^{\frac{1}{3}}\cos \alpha+b^{\frac{1}{3}}\sin \alpha\right)\left(\dfrac{a}{\cos \alpha}+\dfrac{a}{\sin \alpha}\right)\\ \geqslant &\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{2} \end{aligned}$
即 $m+n\geqslant \left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}$ ,且当 $\alpha=\arctan \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}$ 时等号成立.

2022-03-16-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P056 习题03）

在 $\triangle ABC$ 中,求证:
$\dfrac{c-a}{b+c-a}+\dfrac{a-b}{c+a-b}+\dfrac{b-c}{a+b-c}\leqslant 0.$

证明

设 $b+c-a=2x$ , $c+a-b=2y$ ,, $a+b-c=2z$ ,则 $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$ ,且 $a=y+z$ , $b=x+z$ , $c=x+y$ ,故原不等式等价于 $\dfrac{x-z}{2x}+\dfrac{y-x}{2y}+\dfrac{z-y}{2z}\leqslant 0$ ,即 $\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}\geqslant 3$ ,显然成立.

2022-03-16-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P056 习题04）

设 $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$ ,求证:
$\dfrac{x+y+z}{3}\cdot \sqrt[3]{xyz}\leqslant \left(\dfrac{x+y}{2}\cdot \dfrac{y+z}{2}\cdot \dfrac{z+x}{2}\right)^{\frac{2}{3}}.$

证明

设 $x-y=2a$ , $y+z=2b$ , $z+x=2c$ .则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 可组成一个三角形,设其面积为 $S$ ,外接圆半径为 $R$ ,则易见原不等式等价于 $a+b+c\leqslant 3\sqrt{3}R$ .

由 $2R\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)=a+b+c\leqslant 2R\cdot 3\cdot \sin \dfrac{A+B+C}{3}=3\sqrt{3}R$ ,因此原不等式成立.

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