领导要求给利率债一个得分，加到信用债的打分结果里，怎么办

2022-07-06 本文已影响0人離塵真心

一、问题背景

领导：你这信评模型的打分只有针对信用债的啊，利率债呢？
我：利率债不在本模型的讨论范围之内，所以就没加。
领导：那不行，你这评级的符号没从头开始啊！咱们的信用等级符号是从利率债开始的。加上！
我：（脑子飞速地转了一下，想起了许多英雄人物的形象：Gauss、Newton、Leibniz、Weierstrass、Cauchy、Riemann、Lebesgue……）好的，领导。

哎，想当初，VaR也是这样被领导问出来的；而且这个问题似乎很有意思，那我就来琢磨琢磨吧。

二、问题描述

我现在的信评模型得分是从-4.5至+4.5分（极少数情况会比+4.5再高一些，但是不会超过+5.5），然后领导希望换算成百分制，同时把利率债的得分糅进这个百分制得分里。从信评理论上讲，利率债的信用资质是好于任何信用债的，也就是说利率债的得分应该高于任何信用债。

另外，由于我的模型得分是以0分为及格线的，领导想要的百分制得分是以60分为及格线的，如果简单地进行线性处理，那我的及格线在百分制下就是50分，因此不能简单地线性处理。

三、分析问题

现在需要找到一个函数 $f$ ，能够将我的模型的得分映射到一个0~100%的“左闭右开的区间”，然后补上正无穷这个点，令其取值为100%。

首先我的模型得分的区间是[-4.5,5.5]，归一化后是[0,1]，那利率债的得分只能是我的得分趋于正无穷的时候，因此需要找到一个单调增加的连续函数，将[0,1]映射到[0,100%)，同时补上一个无穷点，令其取值为100%。

但是，这种连续函数 $f$ 真的存在吗？利用连续统假设中的有界数列必有收敛子列这一条，用反证法，假设存在这样的函数，然后利用选择公理构建序列 $x_n$ ，使得 $f(x_n) \rightarrow 100\%$ ，然后取收敛子列 $x_{k_n} \rightarrow x_k \in [0,1]$ ，则当该子列趋于 $x_k$ 时，有其函数值 $f(x_{k_n}) \rightarrow f(x_k)=100\%$ ，矛盾。所以不存在这样的函数。值得注意的是，整个证明过程没有用到单调性这个条件。

据说有一种瑕积分可以让“某个点”的积分值非零，然后可以通过这个来做出来一个变上限函数。但是，杀鸡焉用牛刀？用初等函数不香吗？

如果换一种思路，如果把[0,1]连续映射到[0,100%-ε]，让ε>0很小，同时把[0,+∞)连续映射到[0,100%)，最后补上正无穷这个点的值为100%，这让领导“看起来”是连续的，不就可以了吗？顺着这个思路，提取对于这个函数的要求：

寻找 $f \in C[0, + \infty)$ ，使得：

单调增加

$f(0)=0,f(1)=1-\varepsilon,其中已知数\varepsilon \in (0,1)$

$\lim_{x \rightarrow + \infty}{f(x)}=1$

曲线 $y=f(x)$ 须经过 $(x_0,y_0)$ ，其中 $x_0,y_0 \in (0,1)$ ， $x_0,y_0$ 均是已知数

需要解释的是

第二条中的 $\varepsilon$ 是指的让模型得分的最高分对应的百分数相较于100%而言，少了多少。所以 $\varepsilon$ 应当是一个接近0的正数。
第三条的意思是要求函数有水平的渐近线。
最后一条是指的及格线，我的模型得分的及格线是 $x_0$ ，领导希望的及格线是 $y_0$ （通常是60分，即 $y_0=60 \%$ ）。

考虑到有水平渐近线的初等函数有：负指数幂函数、指数函数、反正切函数（大于0时），因此从这些函数开始下手。

四、解决问题

1、以指数函数为基础

$f(x)=-Ae^{-kx}+1$
不可行，因为要求中有4个对于函数值的约束条件，而参数至多只可能有3个。

$f(x)=-[\omega e^{-k_1x}+(1-\omega) e^{-k_2x}]+1$
不可行，经尝试似乎并非对于任何 $\varepsilon$ 和 $x_0,y_0$ 均可取到值，如 $\varepsilon=0.01,(x_0,y_0)=(0.5,0.6)$

2、负指数幂函数

$f(x)=\frac{-A}{(x+B)^\alpha}+1$
不可行，经尝试似乎并非对于任何 $\varepsilon$ 和 $x_0,y_0$ 均可取到值，如 $\varepsilon=0.01,(x_0,y_0)=(0.5,0.6)$

3、反正切函数

$f(x)=A\arctan(kx+b)+B$

不太可行，主要是因为 $\arctan$ 函数的凸度不可能由内部的一次函数控制。而且从求解上看，只能有数值解，没有解析解。

4、反比例函数与幂函数的复合

$f(x)=\frac{-A}{x^\alpha +B}+1$

代入条件后解得：

$A=B=\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}= (1-\varepsilon)^{-1} -1 \sim \varepsilon \qquad (\varepsilon \rightarrow 0)$
$\alpha = \frac{\ln{x_0}}{\ln{\frac{A}{1-y_0}-A}}$

将 $\varepsilon=2\%$ 、 $(x_0,y_0)=(50\%,60\%)$ 代入，得到曲线

缺点是无法控制曲线的形态，即无法控制我的模型得分与百分制得分对应的疏密。

5、扩展的反比例函数与幂函数的复合（当前最佳）

$y^\beta=\frac{-A}{x^\alpha +A}+1$

其中 $\beta$ 是控制曲线形态的参数，是需要人工输入的值。

与原 $f(x)=\frac{-A}{x^\alpha +B}+1$ 相比，它是本曲线于 $\beta=1$ 处的一个特例。

代入条件后解得：

$A=B = (1-\varepsilon)^{-\beta} -1 \sim \beta\varepsilon \qquad (\varepsilon \rightarrow 0)$
$\alpha = \frac{\ln{x_0}}{\ln{\frac{A}{1-y_0^\beta}-A}}$

将 $\varepsilon=2\%$ 、 $(x_0,y_0)=(50\%,60\%)、\beta=0.2,1,4,8$ 代入，得到曲线

也就是说，当 $\beta$ 越小时，及格线附近的百分制得分越稀疏；当 $\beta$ 越大时，及格线附近的百分制得分越密集。由此可以较为精细地控制模型得分与百分制得分的关系。

五、结论

用曲线

$y^\beta=\frac{-A}{x^\alpha +A}+1$

（其中 $A,\alpha,\beta>0$ ）

来对归一化后的模型打分进行百分制转换是比较好的选择。其中， $x$ 是模型输出得分的归一化后的数值， $y$ 代表百分制得分（ $y$ 的取值在0~1，需要乘以100后得到百分制）， $\alpha$ 负责控制及格线的对应关系， $A$ 负责控制模型满分与100分的接近程度， $\beta$ 是手工调整项，负责模型得分与百分制得分在及格线附近的疏密关系。