第一章 矢量分析

2019-12-08  本文已影响0人  HaughtyHH

矢量代数

两个矢量 \vec{A} 与 \vec{B} 的点积 \vec{A} \cdot \vec{B} 是一个标量，定义为 \vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos \theta
两个矢量 \vec{A} 与 \vec{B} 的叉积 \vec{A} \times \vec{A} 是一个矢量，定义为 \vec{A} \times \vec{B} = \vec{e_n} AB \sin \theta
矢量 \vec{A} 与矢量 \vec{B} \times \vec{C} 的点积 \vec{A} \cdot \vec{B} \times \vec{C} 称为标量三重积，它具有如下运算性质：\vec{A} \cdot ( \vec{B} \times \vec{C} )= \vec{B} \cdot ( \vec{C} \times \vec{A} ) = \vec{C} \cdot ( \vec{A} \cdot \vec{B} )
矢量 \vec{A} 与矢量 \vec{B} \times \vec{C} 的叉积 \vec{A} \times \vec{B} \times \vec{C} 称为矢量三重积，它具有如下运算性质：\vec{A} \times ( \vec{B} \times \vec{C} ) = \vec{B} ( \vec{A} \cdot \vec{C} ) - \vec{C} ( \vec{A} \cdot \vec{B} )

三种常用的正交坐标系

直角坐标系 ( x,y,z )

直角坐标系中的三个相互正交的坐标单位矢量为 \vec{e_x} 、 \vec{e_y} 和 \vec{e_z} ,遵循右手螺旋法则：\vec{e_x} \times \vec{e_y} = \vec{e_z} , \vec{e_y} \times \vec{e_z} = \vec{e_x} , \vec{e_z} \times \vec{e_x} = \vec{e_y}
长度元dl_x = dx , dl_y = dy , dl_z = dz
面积元dS_x = dydz , dS_y = dxdz , dS_z = dxdy
体积元dV=dxdydz

圆柱坐标系 (\rho,\phi,z)

圆柱坐标系中的三个相互正交的坐标单位矢量为 \vec{e_\rho} 、 \vec{e_\phi} 和 \vec{e_z} ,遵循右手螺旋法则：\vec{e_\rho} \times \vec{e_\phi} = \vec{e_z} , \vec{e_\phi} \times \vec{e_z} = \vec{e_\rho} , \vec{e_z} \times \vec{e_\rho} = \vec{e_\phi}
长度元dl_\rho = d\rho , dl_\phi = \rho d\phi , dl_z=dz
面积元dS_\rho = \rho d \phi dz,dS_\phi = d\rho dz , dS_z = \rho d\rho d\phi
体积元dV = \rho d\rho d\phi dz

球坐标系 (r,\theta,\phi)

球坐标系中的三个相互正交的坐标单位矢量为 \vec{e_r} 、 \vec{e_\theta} 和 \vec{e_\phi} ,遵循右手螺旋法则：\vec{e_r} \times \vec{e_\theta} = \vec{e_\phi} , \vec{e_\theta} \times \vec{e_\phi} = \vec{e_r} , \vec{e_\phi} \times \vec{e_r} = \vec{e_\theta}
长度元dl_r = dr , dl_\theta = r d\theta , d l_\phi = r \sin \theta d \phi
面积元dS_r = r^2sin\theta d \theta d\phi , dS_ \theta = r \sin \theta dr d\phi, dS_\phi = rdrd\theta
体积元dV = r^2sin\theta dr d\theta d\phi

坐标单位矢量之间的变换

\vec{e_x} \vec{e_y} \vec{e_z}
\vec{e_\rho} \cos \phi \sin \phi 0
\vec{e_\phi} - \sin \phi \cos \phi 0
\vec{e_z} 0 0 1
\vec{e_\rho} \vec{e_\phi} \vec{e_z}
\vec{e_r} \sin \theta 0 \cos\theta
\vec{e_\theta} \cos \theta 0 -\sin\theta
\vec{e_\phi} 0 1 0
\vec{e_x} \vec{e_y} \vec{e_z}
\vec{e_r} \sin \theta \cos \theta \sin \theta \sin \phi \cos \theta
\vec{e_\theta} \cos \theta \cos \theta \cos \theta \sin \phi -\sin \theta
\vec{e_\phi} -\sin \phi \cos \phi 0

标量场的梯度

标量场的等值面

标量场可用一个标量函数来描述u=u(r)
标量场的等值面方程为u(\vec{r})=C （C为常数）

标量场的方向导数

在直角坐标系中方向导数的计算公式为\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos \alpha + \frac{\partial u}{\partial y}\cos \beta + \frac{\partial u}{\partial z}\cos \gamma式中，\cos \alpha 、\cos \beta 、\cos \gamma 是方向 \vec l 的方向余弦。

z标量场的梯度

标量场的梯度 \nabla u 是一个矢量，在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中的表达式分别为\nabla u = \vec{e_x}\frac{\partial u}{\partial x} + \vec{e_y}\frac{\partial u}{\partial y} + \vec{e_z} \frac{\partial u}{\partial z} \nabla u = \vec{e_\rho}\frac{\partial u}{\partial \rho} + \vec{e_\phi}\frac{\partial u}{\rho \partial \phi} + \vec{e_z} \frac{\partial u}{\partial z} \nabla u = \vec{e_r}\frac{\partial u}{\partial r} + \vec{e_\theta}\frac{\partial u}{r \partial \theta} + \vec{e_\phi} \frac{\partial u}{rsin \theta \partial \phi}

矢量场的散度

矢量场的矢量线

矢量场可用一个矢量函数来描述\vec{F}=\vec{F(r)}=\vec{r}F_x(\vec{r})+\vec{e_y}F_y(\vec{r})+\vec{e_z}F_z(\vec{r})矢量场的矢量线微分方程为\frac{dx}{F_x(\vec{r})}=\frac{dy}{F_y(\vec{r})}=\frac{dz}{F_z(\vec{r})}

矢量场的通量

矢量场 \vec{F(r)} 穿出闭合面 S 的通量为\psi=\oint_S \vec{F(r)} · d \vec{S} = \oint_S \vec{F(r)} · \vec{e_n} dS

z矢量场的散度

矢量场的散度 \nabla · F 是一个标量，在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中的表达式分别为\nabla · F = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \nabla · F = \frac{1}{\rho} \frac{\partial (\rho F_p)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial F_\phi}{\partial \phi} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \nabla · F = \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2F)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial (\sin \theta F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}

散度定理

矢量场的散度在体积 V 上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面 S 上的面积分，即 \int_v \nabla · \vec{F}dV=\oint_s \vec{F} · d \vec{S}散度定理是矢量场中的体积分与闭合曲面积分之间的一个变换关系，在电磁理论中非常有用。

矢量场的旋度

矢量场的环流

矢量场 \vec{F(r)} 沿闭合路径 C 的环流为\Gamma = \oint_C \vec{F} · d \vec{l}

z矢量场的旋度

矢量场的旋度 \nabla \times \vec{F} 是一个矢量，在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中的表达式分别为\nabla \times \vec{F} = \left[\begin{matrix}\vec{e_x}&\vec{e_y}&\vec{e_z}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\F_x&F_y&F_z\end{matrix}\right] \nabla \times \vec{F} = \frac{1}{\rho}\left[\begin{matrix}\vec{e_\rho} & \rho \vec{e_\phi}&\vec{e_z}\\ \frac{\partial}{\partial \rho}&\frac{\partial}{\partial \phi}&\frac{\partial}{\partial z}\\F_\rho&\rho F_\phi&F_z\end{matrix}\right] \nabla \times \vec{F} = \frac{1}{r^2sin \theta}\left[\begin{matrix}\vec{e_r}&r \vec{e_\theta}&r\sin \theta \vec{e_ \phi}\\ \frac{\partial}{\partial r}&\frac{\partial}{\partial \theta}&\frac{\partial}{\partial \phi}\\F_r&rF_\theta&r\sin\theta F_\phi\end{matrix}\right]

斯托克斯定理

矢量场的旋度在曲面 S 上的面积分等于矢量场沿限定该曲面的闭合路径 C 的线积分，即\int_S \nabla \times \vec{F} \cdot d \vec{S} = \oint \vec{F} \cdot d \vec{l}斯托克斯定理是矢量场中的面积分与为线积分之间的一个变换关系，在电磁理论中也很有用。

无旋场与无散场

无旋场

标量场的梯度有一个重要的性质，就是它的旋度恒等于 0 ，即\nabla \times (\nabla u) \equiv 0一个旋度处处为 0 的矢量场 F 称为无旋场，可以把它表示为一个标量场的梯度，即如果 \nabla \times \vec{F} \equiv 0 ，则存在标量函数 u ，使得\vec{F}=-\nabla u

无散场

矢量场的旋度有一个重要性质，就是旋度的散度恒等于0，即\nabla \cdot (\nabla \times \vec{A}) = 0一个散度处处为 0 的矢量场 F 称为无散场，可以把它表示为一矢量场的旋度，即如果 \nabla \cdot \vec{F} \equiv 0 ，则存在矢量函数 \vec{A} ，使得\vec{F}=\nabla \times \vec{A}

拉普拉斯运算和格林定理

拉普拉斯运算 \nabla^2\vec{u}

在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中， \nabla^2\vec{u} 的表达式分别为\nabla^2\vec{u}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \nabla^2\vec{u}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial (\rho \frac{\partial u}{\partial \rho})}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho ^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \nabla^2\vec{u}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2 \frac{\partial u}{\partial r})}{\partial r}+\frac{1}{r^2 sin \theta}\frac{\partial (sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta})}{\partial \theta}+ \frac{1}{r^2 sin^2 \theta} \frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2}

格林定理

格林第一恒等式\int_V(\phi \nabla^2 \psi + \nabla \phi \cdot \psi) dV=\oint_s \phi \frac{\partial \psi}{\partial n}dS
格林第二恒等式 \int_V(\phi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \phi) dV=\oint_s (\phi \frac{\partial \psi}{\partial n}-\psi \frac{\partial \phi}{\partial n})dS

亥姆霍兹定理

矢量场的散度和旋度都是表示矢量场的性质的量度，一个矢量场所具有的性质可由它的散度和旋度来说明。可以证明：在有限的区域 V 内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域 V 内的闭合面 S 上的矢量场的分布）唯一地确定，且可表示为\vec{F(r)}=- \nabla u(r) + \nabla \times \vec{A(r)}

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