信息的度量——熵

信息熵：用来衡量事件不确定性，不确定性越大，熵越大。

对任意一个随机变量X，其熵定义为：

熵

条件熵：有两个随机变量X和Y，在Y事件确定后X的不确定性的大小称为条件熵。条件熵的定义如下：

条件熵

互信息：信息的作用在于消除事件的不确定性，互信息作为两个事件（X，Y）相关性的度量，即在确定了其中一个事件Y的前提下，对消除另一个事件X的不确定性所提供的信息量。互信息的定义如下：

互信息
确定了事件Y之后事件X的不确定性即条件熵H(X|Y)，因此互信息又可表示为：I(X; Y) = H(X) - H(X|Y)，即事件X总的不确定性 — 剩余的不确定性 = 确定Y使X不确定性减少的部分。推导部分如下：
互信息推导过程 通过下面的图可以更好的理解信息熵： 熵、条件熵、互信息

上图中红色圆圈表示事件X的熵H(X)，蓝色圈表示事件Y的熵，两个圈圈合起来的面积表示联合熵H(X, Y)，而纯色的部分则表示条件熵（减去已知事件导致的熵减少），中间的交集互信息I(X; Y)表示事件X和Y的相关性。

相对熵（也即KL散度）：相对熵也用于衡量相关性，但和变量的互信息不同，它用来衡量两个取值为正数的函数的相关性。定义如下：

相对熵
关于相对熵的三个结论：
1、对于两个完全相同的函数，他们的相对熵等于零；
2、相对熵越大，两个函数的差异越大，反之亦反；
3、对于概率分布或概率密度函数，若取值均大于零，相对熵可以度量两个随机分布的差异性。

需要注意的是KL散度是非对称性的，即：

KL散度为什么不对称的一点解释

参考：
《数学之美》 吴军.