数学之趣

关于数学，我们学了十几年，大概印象就是几何，方程式等等。大都是被考试折磨到觉得这东西一点都不可爱。通过《思考的乐趣》之生活中的数学，让我们认识到数学在生活中也是有有趣的一面。

概率论与说谎

关于概率有个贝叶斯定理，它的直观意义就是，当你获得了一个新的信息，你对原事件的看法所做的改变。举例说为了让人们相信事件A没有发生，作为伪证的事件B一定要具有这样的性质，它本来很可能发生，但伴随着事件A一起发生就很不可思议了。悬疑剧情里通常会用电影票来作为特定时间不在场的证据，为了充分利用这个伪证，我们可以从以下三个方面入手：（1）不要轻易拿出证据，故意做出没法给出证据的样子，让人越来越坚信在事件A发生后，还能给出证据B的概率有多么小。（2） 增加证据B的条件，平时做好铺垫工作，长期保存电影票根，经常提起自己保留纪念物的喜好，让人们相信证据本身的存在并没有什么特殊或故意。（3)努力提高自己在别人心目中的人品形象，不至于让人凭直觉首先猜测到你。这些在小说《嫌疑人X的献身》有精确的描述。

找东西背后的概率问题

各种违反常理的错觉图片和数学事实告诉我们，直觉并不可靠。其实这本身就是一种错觉。比如说我们丢了东西，找遍所有的地方后坚信在某个地方，但往往有时候恰恰在你最先找的地方。因为目标范围的降低会增加你心里的期望值，期望值的增加增加你寻找的认真程度，写到这想起《我的父亲母亲》找发卡那一段也正符合这个现象。

设计调查问卷的艺术

这里要解决的是从理论上保证个人隐私绝对不被泄露，让每个人都能放心地填写，并且问卷收回后能够得到一个准确的统计结果。有这么一个方案，发给每个问卷作答者一枚一元钱的硬币，对于指定隐私项目，请填写人投掷一次硬币：若正面朝上，则如实填写个人真实情况；如果反面朝上，那就再投掷一次，正面选“是”，反面选“否”。如果有人第一次就投掷到正面的话，完全可以假装再投掷一次来掩人耳目。回收问卷后我们根据硬币正反面出现的概率来测算出如实回答和被迫回答的概率，从而得到最终的结果。

统计数据的误区

统计数据显示，打太极拳的人和不打太极拳的人平均寿命相同。事实上，太极拳确实可以强健身体，延长寿命。但打太极拳往往是体弱多病的人，这一事实给统计数据带来了虚假的独立性。
有虚假的独立性数据，就有虚假的相关性数据。统计数据显示，去救火的消防员越多，火灾损失越大。仔细想一下就会明白：正因为火灾损失大，才会有很多人去救火。因果关系颠倒了。数据只能显示两件事情有相关性，但并不能告诉你他们内部的逻辑关系。
事实上，两个在统计数据上呈现相关性的事件，有可能根本就没有因果关系。统计数据表明，手指越黄的人，得肺癌的概率越大。但事实上，手指的颜色和得肺癌的概率之间显然没有直接的因果联系。而是因为，手指黄和肺癌都是由吸烟造成的，于是又营造出一种虚假的相关性。
现实中的统计数据还会表现出一些更加复杂反常的现象。辛普森悖论是统计学中最有名的悖论：各个局部表现都很好，合起来一看反而更差。

为什么人们往往不愿意承担风险？

选择工作时，面对底薪+提成，和稳定的工资，大部分人趋于选择后者，因为收入本身并不重要，我们关心的是它能带给我们的好处，或者说是带来的幸福感、满足感。经济学中用“效用”这个词表达这种主观上对收益的评估结果。

有个重要的假设：收入的边际效用是递减的，换句话说，增加同样多的收入，低收入者主观上会感觉自己收益了很多，本来就是高收入的会觉得这点收入算不了什么。因此，经济学中有这样一个定理：如果一个人认为自己的边际效用是递减的，那么这个人就是一个风险规避者。对于期望收入相同的两件事情，他更愿意去做风险更小的哪一件。

关于消费税的问题。

市场供给和需求有一个平衡线叫市场均衡线，消费税若向卖方征收，会降低市场均衡价，向消费者征收则会降低销量，无论如何都会降低市场均衡线。所以无论是向哪方征税，对于市场来说都是一样的，消费税是由两方共同承担，对于承担多少则是由价格和数量的斜率决定。

市场定价问题。

传统定价策略有一个巨大的缺陷：不管你把价格定到多少，你都觉得不好——价格再高点或许就能从某些买家手里赚到更多，价格再低点或许就能赢来一些新的买家。为了应对这个问题，为不同消费者制定不同价格的策略就叫做“价格歧视”。比如说移动流量包套餐，以及麦当劳肯德基的优惠券、景区门票等都属于价格歧视，有效的区分了目标群体，既能从高端群体里获得更多利益，又能对有价格敏感的群体提供优惠而不丧失产品的品质和品牌形象。

对于市场两部分定价往往获利更多。以游乐园的过山车为例，因为价格和消费次数成反比，在这个三角截距下，无论如何定价收入价格*次数都只是个长方形，无法获得长方形上面的三角形部分。如果把三角形部分作为固定的门票价格，则就能完全获得设备使用的全部收益。然后我们根据图形测算面积可以得出：当过山车价格定得和成本价格一样时，然后以此时上方的三角形面积作为门票图形面积最大，收益也最大。

公用品的过度使用问题

以草原过度放牧为例，如果是私人使用会合理规划达到理论最优质，但是如果是一个公共牧场，就会超过最优质，最终每个人都得不到好处。因为对于个人来说关心的并不是整体，只要增加的收益大于他的成本，对于她来说都是有利的，最终超过数量的平衡点时，收益会趋近于成本，此时大家都无利可图。看到这个问题，忽然想起年初携程收购百度去哪儿，一方面是减少竞争，另一方也是保持了市场掌控力，更好的规划旅游市场。

关于密码与安全

电视剧里经常有这样的场景，把一份秘密文件发给X个人，每个人持有密码的一部分，要全部抓获X个人，才能破获文件，保密性非常强；但这也有一个隐患：只要有一个人被抓，剩下的人则也无法获得文件内容。有一个秘密共享方式即（3,5）门限方案，意思是假如分成5个人持有密码信息，至少有3个人在场才能解开密文。具体方法就是把文件密码设置为3个数X,Y,Z，然后编写5个与X,Y,Z有关的一次方程，并把这5个方程分别交给5个人。这是对平面方程的运用。

公平分割的问题

要想实现理想分割，双方需要完全公开自己的信息，并且充分信任对方。但实际中，因为角度出发点不一样，往往会出现各种问题，从两个人的“你来分，我来选”到三个人的“免嫉妒分割”—（又叫赛尔弗里奇-康威算法。首先，A把蛋糕分成3等份，若B认为三块蛋糕中两块较大的是一样大，则按CBA顺序选择，这等同于先分后选；若B认为三块大小不一，则由B把最大的切去一块等同于中间大小那块，有一个限制A不选被剪切的那块，仍按CBA顺序选择，第一轮选择被修剪蛋糕的人一定在B C之间假设其为X,另外一人为Y第二次再按XAY的顺序选择，则就实现了免嫉妒的公平分割，以上运用的都是数字排序。