【数学建模算法】(28)插值和拟合：最小二乘优化

2019-08-23 本文已影响7人热爱学习的高老板

在无约束最优化问题中，有些重要的特殊情形，比如目标函数由若干个函数的平方和构成。这类函数一般可以写成：
$F(x)=\sum_{i=1}^{m} f_{i}^{2}(x), x \in R^{n}$
其中 $x=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)^{T}$ ，一般假设 $m \geq n$ 。我们把极小化这类函数的问题：
$\min F(x)=\sum_{i=1}^{m} f_{i}^{2}(x)$
称为最小二乘优化问题。

最小二乘优化是一类比较特殊的优化问题，在处理这类问题时，Matlab也提供了一些强大的函数。在 Matlab 优化工具箱中，用于求解最小二乘优化问题的函数有：lsqlin、lsqcurvefit、lsqnonlin、lsqnonneg，用法介绍如下。

1.lsqlin函数

求解 $\min _{x} \frac{1}{2}\|C x-d\|_{2}^{2}$
s.t. $\left\{\begin{array}{l}{A^{*} x \leq b} \\ {\text {Aeq}^{*} x=b e q} \\ {l b \leq x \leq u b}\end{array}\right.$
其中 $C, A, A e q$ 为矩阵， $d, b, b e q, l b, u b, x$ 为向量。
Matlab函数为：
x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

例1 用Isqlin函数求一个形如 $y=a+b x^{2}$ 的经验公式，使它与下表所示的数据拟合。

$x$	19	25	31	38	44
$y$	19.0	32.3	49.0	73.3	97.8

解：程序如下：

x=[19 25 31 38 44]';
y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]';
r=[ones(5,1),x.^2];
ab=lsqlin(r,y)
x0=19:0.1:44;
y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2;
plot(x,y,'o',x0,y0,'r')

2.lsqcurvefit函数

给定输入输出数列 $xdata，ydata$ ，求参量 $x$ 使得
$\min _{x} \frac{1}{2} \| F(x, x{ data })-y d a t a \|_{2}^{2}=\frac{1}{2} \sum_{i}\left(F\left(x, x{ dat } a_{i}\right)-y d a t a_{i}\right)^{2}$

Matlab中的函数为：
X=lsqcurvefit(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS)
其中FUN是定义函数 $F(x, x d a t a)$ 的N文件。

例2 用下面表中的数据拟合函数 $c(t)=a+b e^{-0.02 k t}$ 中的参数 $a, b, k$ 。

$t_{j}$	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000
$c_{j}$	4.54	4.99	5.35	5.65	5.90	6.10	6.26	6.39	6.50	6.59

解：这个问题即解最优化问题：
$\min F(a, b, k)=\sum_{i=1}^{10}\left(a+b e^{-0.02 k t_{j}}-c_{j}\right)^{2}$

解这个问题要分两步：
首先编写待求函数：

function f=fun1(x,tdata);
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata); %其中 x(1)=a，x(2)=b，x(3)=k

其中参数x是原函数的待求参数列表，xdata是函数自变量。
之后在主函数中调用lsqcurvefit，编写程序：

td=100:100:1000;
cd=[4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59];
x0=[0.2 0.05 0.05];
x=lsqcurvefit(@fun1,x0,td,cd)

3.lsqnonlin函数

已知函数向量 $F(x)=\left[f_{1}(x), \cdots, f_{k}(x)\right]^{T}$ ，求 $x$ 使得：
$\min _{x} \frac{1}{2}\|F(x)\|_{2}^{2}$
Matlab中的函数为：

X=lsqnonlin(FUN,X0,LB,UB,OPTIONS)

用该函数求解例2：
首先编写含有待求参数的函数：

function f=fun2(x);
td=100:100:1000;
cd=[4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59];
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*td)-cd;

之后调用函数lsqnonlin，编写如下程序：

x0=[0.2 0.05 0.05]; %初始值是任意取的
x=lsqnonlin(@fun2,x0)

4.lsqnonneg函数

求解非负的 $x$ ，使得满足 $\min _{x} \frac{1}{2}\|C x-d\|_{2}^{2}$
Matlab中的函数为：

X =lsqnonneg(C,d,X0,OPTIONS)

例3 已知 $C=\left[\begin{array}{ll}{0.0372} & {0.2869} \\ {0.6861} & {0.7071} \\ {0.6233} & {0.6245} \\ {0.6344} & {0.6170}\end{array}\right]$ ， $d=\left[\begin{array}{l}{0.8587} \\ {0.1781} \\ {0.0747} \\ {0.8405}\end{array}\right]$ ，求 $x(x \geq 0)$ 满足 $\min _{x} \frac{1}{2}\|C x-d\|_{2}^{2}$ 最小。

编写程序如下：

c=[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170];
d=[0.8587;0.1781;0.0747;0.8405];
x=lsqnonneg(c,d)

【数学建模算法】(28)插值和拟合：最小二乘优化

1.lsqlin函数

2.lsqcurvefit函数

3.lsqnonlin函数

4.lsqnonneg函数

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