投影变换

    大家好，本节我们将为大家介绍地图的投影变换。

     下图为亚特兰蒂斯（Atlantis）投影地图，展示了大西洋在一个长的，连续的条带与地图的主要维度对齐，是以西经30°，北纬45°N为中心的倾斜的投影。

       沃特曼蝴蝶（ Waterman Butterfly ）投影是将球体投影到多面体上，将地球分为八个八度体，每个子午线在其相应的八分体中被绘制为三个直线段，每个线段尤其定义在四个“等线分割”中的两个端点上。

     本次课程主要有三部分组成，包括地图投影的原理、地图投影的方式，以及地图投影的变形。其中重点是地图投影的方式，下面我们来一起看一下：

         首先大家来思考一下，为什么要进行地图投影，由于地球是一个赤道略宽、两极略扁的不规则的梨形球体，所以它的表面是一个不可展平的曲面，运用任何数学方法进行这种转换，都会产生误差和变形，我们需要利用投影来缩小误差。

     我们生活在一个三维的世界中，我们所看到或触摸到的任何一个物体都是三维的，它们都有其长度、宽度和高度。地球同样是个三维物体，然而我们日常看到的大多数地图却是二维的——只有长度和宽度。 

     那么人们是怎样把地球绘制成地图的呢？我们做了这样一个实验，像橘子这样一个三维物体，被橘子皮包裹着，当把橘子皮剥开并且展开之后，我们就能够类似地把它看成是一个二维物体。那么我们的地球是不是也可以像橘子那样，类比橘子皮来绘制地图呢？实际上，人们利用地图投影来为地球制作地图。那么如何进行投影呢？目前我们已经拥有很多种特征投影，如圆锥投影、圆柱投影和方位投影等，当前它们被广泛的应用于各大领域。

     在明白了地球需要进行投影来绘制地图，下面我们来看下地图投影的概念，地图投影是按照一定的数学法则，将地球表面的经纬网转换到平面上，以建立球面点位和平面点位之间的对应关系的一种方法。通俗来讲就是，将一个3D的地球→2D的地图。

       借助下图，我们来更形象地认识下。首先将地球生物圈抽象变为表面崎岖的椭球体，然后将其映射到地图平面上，这就是一个完整的投影过程。那么投影的实质是怎样呢？我们来看下投影的一个形象化表示，投影就是将投影曲面转换为投影平面的过程，也是由一个三维物体转变为二维物体的过程。

    下面我们来看下投影的方式，

      根据投影面与地球表面的相关位置（也就是投影轴与地轴的位置关系）：可分为正轴投影、斜轴投影、横轴投影

（1）正轴投影（重合）：投影面的中心线与地轴一致

（2）斜轴投影（斜交）：投影面的中心线与地轴相交

（3）横轴投影（垂直）：投影面的中心线与地轴垂直

      同样，根据投影面的不同，我们将投影分为了圆柱投影、圆锥投影和方位投影。下面来详细看下这三大投影，

      圆柱投影，假想用圆柱包裹着地球且与地球面相切(割)，将经纬网投影到圆柱面上，再将圆柱面展开为平面而成。期间并没有改变它的经纬度的长度，属于等距离投影，常见的有墨卡托投影。

      圆锥投影，将经纬网投影到圆锥面上，设想将一个圆锥套在地球椭球体上，而把地球椭球体上的经纬线网投影到圆锥面上，然后沿着某一条母线（经线）将圆锥面切开而展开成平面，就得到圆锥投影。其中方位投影和圆柱投影都是圆锥投影的特例。圆锥投影按照变形的性质，又可分为等角圆锥投影、等距圆锥投影和等积圆锥投影。

     方位投影则是以平面为投影面的一类投影，变形线为同心圆，其最适宜表示圆形轮廓的区域，比如两极地区的地图。按照变形的性质又可分为等角方位投影、等距方位投影和等积方位投影。

       介绍完投影的分类之后，下面我们来感受下不同投影引起的变形。后面三幅图是按照不同的变形性质对第一幅图进行的投影。我们可以看到，图二正射投影、图三平面投影、以及图四的墨卡托投影与图一正常情况图的对比，都有着严重的变形。

        我们知道俄罗斯实际领土面积是世界上最大的国家，那么地图上的俄罗斯是不是也是疆域之王呢？通常我们在家里面悬挂的世界地图，看到的俄罗斯，往往是所有国家中面积最大的国家。的确，在普通的世界地图上，俄罗斯无疑是疆域之王，然而在其它一些地图上却并非如此。因为我们目前常用的是“横麦氏投影地图”，它会使各个国家的大小都存在着严重失真。因为这种投影地图为了让所有地方的北边朝上，必须将每一条纬线都拉得跟赤道一样长。

        利用这种横麦氏投影地图，会使各个国家的大小都存在着严重失真。因为这种地图为了让所有地方的北边朝上，必须将每一条纬线都拉得跟赤道一样长。下面我们来看下俄罗斯和中国，从左边这张图可以看出，将俄罗斯放到中国的纬度，面积明显缩小了很多；对于右边这张图，则是将中国放到俄罗斯的位置，一样在地图上中国的面积会扩大很多。可见，地图的投影过程中会不可避免的产生很大的变形误差。