2019-05-15

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QPSK
QPSK(4PSK),四相移相键控，表明正弦波有四个可能的相位。I/Q正交的两个PSK
4PSK是一种四进制信号，它在 $[0,T_s]$ 时间内发送一下四种信号之一：
$\begin{cases}s_1(t) = A\cos(\omega_ct+\theta_1)\\ s_2(t) = A\cos(\omega_ct+\theta_2) \\ s_3(t) = A\cos(\omega_ct+\theta_3)\\ s_4(t) = A\cos(\omega_ct+\theta_4)\end{cases}$ , $0\leq t\leq T_s$
理论上，只要 $\theta_1,\theta_2,\theta_3,\theta_4$ 是四种不同的相位都可以叫4PSK。实际设计中一般将 $\theta_1,\theta_2,\theta_3,\theta_4$ 设计为间隔 $\frac{\pi}{2}$ 的均匀相位。
QPSK信号的产生
键控法：用一个四电平信号（或用两个比特）来控制开关的连接
调相法：
- $s(t) = \cos[2\pi f_c t+\frac{\pi }{4}b(t)],b(t)取值于\{\pm 1,\pm3 \}$
QPSK = 两路载波正交的2PSK之和
实际中一般是用两个I/Q正交的BPSK来产生QPSK
结构：
$二进制双极性不归零序列\{ a_n \},R_b = \frac{1}{T_b} \longrightarrow 串并转换 \longrightarrow T_s = 2T_b,I(t)路,\{a_{2n}\} \bigotimes \frac{A}{\sqrt {2}}\cos \omega_c t; Q(t)路, \{a_{2n-1}\} \bigotimes -\frac{A}{\sqrt {2}}\sin \omega_c t \longrightarrow \bigoplus QPSK信号$
$s(t) = I(t)\cdot \frac{A}{\sqrt{2}}\cos 2\pi f_c t- Q(t)\cdot \frac{A}{\sqrt{2}}\sin 2\pi f_c t = A\cos (2\pi f_c t+\theta)$
$I(t),Q(t)$ 是取值为 $\pm1$ 的双极性NRZ
$s(t)$ 的复包络是 $\frac{A}{\sqrt{2}}[I(t)+jQ(t)]$ ，包络是 $\frac{A}{\sqrt{2}} \sqrt{I^2(t)+Q^2(t)} = A$
$s(t)$ 的相位 $\theta = tan^{-1}\frac{Q(t)}{I(t)}\in \{ \pm\frac{\pi}{4},\pm \frac{3\pi }{4} \}$
功率谱密度
$s(t) = I(t)\cdot \frac{A}{\sqrt{2}}\cos 2\pi f_c t- Q(t)\cdot \frac{A}{\sqrt{2}}\sin 2\pi f_c t = A\cos (2\pi f_c t+\theta)$
$I(t),Q(t)$ 是两个数据独立等概、幅度为 $\pm1$ 的双极性NRZ信号。比特间隔是QPSK比特间隔 $T_b$ 的2倍，等于 $2T_b = T_s$ ， $I(t),Q(t)$ 的功率谱密度同为 $P_I = P_Q = T_s\cdot sinc^2(\frac{f}{R_s})$
$I(t),Q(t)$ 是两个不相关的零均值随机过程。
$I(t)\cos(2\pi f_c t),Q(t)\sin(2\pi f_c t)$ 是两个BPSK，它们有着相同的功率谱密度，是 $P_I(f),P_Q(f)$ 的频谱搬移除4：
$P_{2PSK}(f) = \frac{1}{4}[T_s\cdot sinc^2(\frac{f-f_c}{R_s})+T_s\cdot sinc^2(\frac{f+f_c}{R_s})]$
$I(t)\cos(2\pi f_c t),Q(t)\sin(2\pi f_c t)$ 是不相关的零均值随机过程。对于零均值不相关随机过程，和的功率谱密度是功率谱密度之和。考虑幅度系数后，QPSK的功率谱密度是
$P_{QPSK}(f) = (\frac{A}{\sqrt{2}})^2\cdot 2 \times P_{2PSK}(f) = E_b[ sinc^2(\frac{2(f-f_c)}{R_s})+sinc^2(\frac{2(f+f_c)}{R_s})]$
其中 $E_b = \frac{A^2T_s}{4} =\frac{A^2T_b}{2}$ 是QPSK的比特能量， $R_b = 2R_s$ 是QPSK的比特速率， $f-f_c = \pm \frac{R_b}{2}$ 是正频率部分主瓣对应的两个零点，因此QPSK的主瓣带宽是 $R_b$ ,相同比特速率的BPSK的主瓣带宽是 $2R_b$
QPSK降低符号速率，所需带宽缩小了，主瓣带宽是2PSK的一半。
QPSK接收机
QPSK是互不干扰、携带不同数据的两个BPSK。QPSK的接收机也是两个单独的BPSK接收机，最后再将两个BPSK接收机的判决结果并串变换为一路输出。
I/Q两路的两个BPSK接收机可以是带通匹配、带通相关，也可以是基带匹配、基带相关
QPSK的误比特率
比特通过QPSK传输，有的走I路，有的走Q路
I路功率是QPSK功率 $\frac{A^2}{2}$ 的一半，为 $\frac{A^2}{4}$ 。I路比特周期是QPSK比特周期 $T_b$ 的2倍，为 $2T_b$ .I路比特能量是 $\frac{A^2}{4} \times 2T_b = \frac{A^2T_b}{2} = E_b$ ，同理Q路相同。
I路信号是BPSK，其误比特率是 $p = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}})$ ，同理Q路相同。
格雷映射
两个比特的自然码顺序是00、01、10、11,格雷码顺序是00、01、11、10，其特点是：顺序相邻着（包括首尾）只有1比特不同。

2019-05-15

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