方程与曲线：2015年理数广东卷题20

2021-09-02 本文已影响0人易水樵

方程与曲线：2015年理数广东卷题20

20.（本小题满分14分）
已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_1∶x^2+y^2-6x+5=0$ 相交于不同的两点 $A，B.$
（1）求圆 $C_1$ 的圆心坐标;
（2）求线段 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程;
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L∶y=k(x-4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点? 若存在，求出 $k$ 的取值范围; 若不存在，说明理由.

【解答问题1】

圆 $C_1$ 的方程变形可得： $(x-3)^2+ y^2 = 4$

所以，圆 $C_1$ 的圆心坐标为 $(3,0)$ ，半径为 $2$ .

【解答问题2】

如上图所示，原点 $O$ 在圆 $C_1$ 之外， $OP,OQ$ 是过原点的两条直线。 $\triangle OPD$ 是直角三角形，所以 $PD:OD:OP=2:3:\sqrt{5}$

直线 $OP,OQ$ 的斜率为： $k_{_{OP}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}},\;k_{_{OQ}}=-\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

$P,Q$ 两点的坐标为： $P(\dfrac{5}{3}, \dfrac{2}{3}\sqrt{5}),\; Q(\dfrac{5}{3}, -\dfrac{2}{3}\sqrt{5})$

根据垂径定理可得： $OM \perp OD$ , 如下图所示，

$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{DM} =0$ ,

设点 $M$ 坐标为 $M(x_0,y_0)$ , 则

$(x_0-0)(x_0-3) + (y_0-0)(y_0-0)=0$

$(x_0-\dfrac{3}{2})^2+y^2_0=(\dfrac{3}{2})^2$

结论：点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程为： $(x-\dfrac{3}{2})^2+y^2=(\dfrac{3}{2})^2\quad(\dfrac{5}{3} \lt x \leqslant 3)$

【解答问题3】

直线 $L∶y=k(x-4)$ 经过定点 $G(4,0)$

根据前面的结论可知：曲线 $C$ 是以 $(\dfrac{3}{2},0)$ 为圆心的一段圆弧，其端点为 $P,Q$

直线 $L∶y=k(x-4)$ 经过定点 $G(4,0)$

当 $k=\pm \dfrac{3}{4}$ , 直线 $L$ 与加弧相切，只有一个公共点；

$GP,GQ$ 的斜率分别为： $\mp \dfrac{2}{7} \sqrt{5}$

综上可知， $\lbrace k | -\dfrac{2}{7} \sqrt{5} \lt k \lt \dfrac{2}{7} \sqrt{5} ,\;{or}\; k=-\dfrac{3}{4}, \;{or}\; k=\dfrac{3}{4} \rbrace$

【提炼与提高】

本题没有用到多少高深的数学知识和技巧，但对考生的思维严谨性有较高要求。

【相关考题】

「2014年文数全国卷A题20」

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