对称矩阵性质

说明 如无特别说明都是实对称矩阵

定理 对称矩阵的特征值为实数

证明 设复数

为对称矩阵A的特征值，复向量x为对应的特征向量，即
因为x不同于0，所以

定理的意义 由于对称矩阵A的特征值

为实数，所以齐次线性方程组
是实系数方程组，由
知必有实的基础解析，从而对应的特征向量可以取实向量。

定理 设

是对称矩阵A的两个特征值,
是对应的特征向量，若
则
正交 证明

定理 设A为n阶对称矩阵， 是A的特征多项式的r重根，则

的秩
从而对应的特征值 恰有r个线性无关的特征向量

定理 设A为n阶对称矩阵，则必有正交矩阵p,使

其中

是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。

证明 设A的互不相等的特征值为
它们的重数依次为
根据之前定理，对应特征值
恰有
个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得 个单位正交的特征向量，由
知，这样的特征向量共可得n个。
对应于不同特征值的特征向量正交，故这n个单位特征向量两两正交。以它们为列向量构成正交矩阵P,则

根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：
1、求A的特征值

2、由
求出A的特征向量
3、将特征向量正交化

4、将特征向量单位化