取模运算

背景

取模运算(mod)和取余运算(rem)两个概念有重叠的部分，但又不完全一致；主要区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。取模主要是用于计算机术语中；取余则更多是数学概念。

取模和取余的区别

• 取余运算 在计算商值时 商值向0方向舍入；靠近0原则
• 取模运算 在计算商值时 商值向负无穷方向舍入；尽可能让商值小的原则(不超多商值的最大值)

计算步骤

假设有整数a和b，那么取模/取余运算可以分为两步运算：

1. 求整数商：c = a/b;
2. 计算模/余数：r = a - (c*b);
3. 总计算模/余数：a mod b = a - b[a/b] ([a/b]表示整数商)

例子

取模

简述	商值		取模值
5 mod 3 = 2	5/3 = 1.66 商取小原则 商=1	5 - 3 * 1 = 2	2
-5 mod 3 = 1	-5/3 = -1.66 商取小原则 商=-2	-5 - (3 * -2) = 1	1
5 mod -3 = -1	5/-3 = -1.66 商取小原则 商=-2	5 - (-3 * -2) = -1	-1
-5 mod -3 = -2	-5/-3 = 1.66 商取小原则 商=1	-5 - (-3 * 1) = 2	-2

取余

简述	商值		取余值
5 rem 3 = 2	5/3 = 1.66 商靠0原则 商=1	5 - 3 * 1 = 2	2
-5 rem 3 = -2	-5/3 = -1.66 商靠0原则 商=-1	-5 - (3 * -1) = - 2	-2
5 rem -3 = 2	5/-3 = -1.66 商靠0原则 商=-1	5 - (-3 * -1) = 2	2
-5 rem -3 = -2	-5/-3 = 1.66 商靠0原则 商=1	-5 - (-3 * 1) = - 2	-2

java 中 % 是取余运算；Python中 % 是取模运算

模的理解

“模”是指一个计量系统的计数范围；如时钟，12个整点为计算范围，则模为12；计算机也是一个计量机器，模为32位或者64位；

32位计算机正常理解 在模 范围内能表达的 有 [0, 2³²-1]；那么负数该怎么表达呢，所以出现了补码；也就是 正数 + 负数 正好达到模的溢出阀值2³²；所以在计算机中负数是用补码方式表达的原因；

关于补码的例子：在12模的时钟中；假设当前时针指向10点,而准确时间是6点,调整时间可有以下两种拨法

1. 倒拨4小时,即：10-4=6 (10-4) mod 12 = 6
2. 顺拨8小时：10+8=12+6=6 （10+8）mod 12 = 6

在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的；因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中11和1、10和2、9和3、7和5、6和6都有这个特性；共同的特点是两者相加等于模

“取模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数(取模)；任何有模的计量器，均可化为加减法运算

5 mod 3 = 2 例子中；模 为 3；2 为取模的值

计算机中取模应用思想

取模的本质是：取模的值，必定会模的范围内；所以，计算机领域引用该特性，使元素路由算法不超出边界，并有规则存放。

首先确定模(范围)；元素取模，使元素有规则的落入模的范围内容器中

如：hashMap、数据库分表、分布式节点路由算法等

参考文档：<原码, 反码, 补码 详解>