矩阵的特征值（一）基本性质

定义

对于方阵构成的方程中，非平凡解被称为的特征向量，被称为的特征值。其含义在于向量经过矩阵描述的线性变换后，仍然和自身共线。
比较特殊的是零向量，因为不管矩阵如何变换，零向量始终不变，也就是始终和自身共线，因此在特征向量的定义里，特意排除掉了零向量（的平凡解）。但是特征值可以为 0。

示例

我们有这样两个矩阵：

我们先求A的特征值和特征向量：

要求得特征值和特征向量，而，那么也就是要上述方程有非平凡解，因此必须是一个奇异矩阵，其行列式必为0，于是有：

根据二阶行列式的公式： ，解得。
进一步计算特征向量，由于特征向量都在一条线上，因此有无数个，我们只随便取一个，比如令其为：

解得：

同样的方法对求解，观察得：

根据之前的解：，因此 。
可以看到有这样的规律，当矩阵与单位矩阵相加得到新的矩阵时，其特征值也相应增加。

假如我们没能一眼看出这层关系，那么我们用行列式来计算。

对最后一步展开得。神奇的是B的行列式和迹是：，。迹就是矩阵主对角线（左上到右下）之和。还存在这样的关系：。

进一步计算特征向量：

下面证明上述“神奇”的关系，已知 ：

若要能有特征值，那上述二次方程必须有解。根据高中知识，我们知道二次方程的两个解有这样的关系，因此，特征值的和恰好等于迹。

结论

1. ，则特征向量不变，而的特征值分别增加。
2. 矩阵的迹的和等于特征值的和。
3. 有的矩阵是没有特征值的，比如旋转矩阵，它把整个向量空间进行旋转，所有向量的方向都改变了，也就没有特征向量和特征值。比如你可以算一下的特征值。会得到一个的无实数解的方程。