负数为什么要用补码来表示？

上篇文章讲了“负数在计算机中是怎么存储的”。看完之后，应该对原码，反码，补码有了基本的了解了。

今天，我们深入探讨一下，为什么计算机中要用补码来表示负数？

首先，我们应该清楚，原码是方便给人看的。看到一个数的原码，我们就能根据符号位和后边的二进制位，计算出这个数的实际值。为了简单起见，我以一个字节8位来举例，如

// 1 的原码 ，最高位0代表正数
0000 0001
// -1 的原码， 最高位1代表负数
1000 0001

可以看到，1和 -1 的原码只有符号位不同。然后，思考一个问题，1 - 1 = ？

是的，我们可以直接通过减法去计算，得出1-1=0 。但是，做减法运算时，可能会遇到不够减而需要借位的情况，这显然是比较麻烦的。我们换一种思路。 1-1 在数学中等同于 1+(-1)。这样，把减法转换为加法就简单的多了，只需要考虑进位就可以了。（其实，计算机中只有加法器，没有减法器，因此减法是通过加法器来计算的。）

于是，我们看下，把1和-1的原码相加等于多少（需要让符号位也参与运算）

  0000 0001
+ 1000 0001
  1000 0010

结果是 -2 ，这显然不符合我们的预期。

为了解决原码减法的问题，于是，出现了反码。使用反码，再来计算一下。

// 1的反码，同原码
0000 0001
// -1的反码，符号位不变，其他取反
1111 1110

相加之后，得 1111 1111 ，这是反码，转为原码为 1000 0000 ，即为 -0 。

但是，这又有问题了，在数学中0就是0，怎么到这还有 -0，+0之分。按照原码的概念来算，+0的原码为0000 0000 ， -0 的原码为 1000 0000 。问题就出在这了，如果遇到0的计算，是应该用 +0 还是用 -0 计算呢，这就会产生分歧。于是，补码出现了，解决了0的符号问题 。

// 1的补码，同原码
0000 0001
// -1的补码，反码 +1
1111 1111

相加得 1 0000 0000 ，最高位进位之后，超过了8位，于是舍去，即为0000 0000。此为补码，转为原码也是0000 0000 ，这不就是0 吗。

这样一来，用补码0000 0000来表示0，就解决了+0和-0在原码上的分歧，统一了0的二进制表示方法。

那，又有疑问了，-0跑哪去了呢？ 其实，-0即1000 0000在这用来表示 -128。但是，注意表示的是 -128的补码，因此 -128没有原码和反码。

那为什么用 1000 0000表示 -128呢 ？

先看下 -127 的原码、反码和补码：
原码: 1111 1111
反码: 1000 0000
补码: 1000 0001

我们知道数学中 -127 -1 = -128 ，所以 -127的补码 -1 也应该等于 -128的补码，即
1000 0001 -1 = 1000 0000。因此1000 0000就是 -128的补码。

在一个字节8位中，如果用原码来表示值的大小范围，只能是 1111 1111 ~ 0111 1111，即-127~127 。但是，如果用补码就可以表示 -128~127，正好是2^8，256个数。

因此，-0可以表示一个最低数。在8位二进制中它是1000 0000 ，在32位中，它就是 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 ，int的最小值。（32位数值大小范围为 -2^31 ~ 2^31 -1）

总结：补码的存在解决了0的符号问题，同时统一了计算机的加减法运算。