近世代数理论基础9：几个例子·群的乘法表

2019-02-15 本文已影响23人溺于恐

几个例子·群的乘法表

例

1.整数模m的剩余类加群

设m是任一正整数,记 $Z/mZ=\{[0],[1],[2],\cdots,[m-1]\}$ 为整数模m的所有剩余类的集合,则集合 $Z/mZ$ 构成整数集Z的一个划分, $\forall a,b\in Z$ , $[a]=[b]\Leftrightarrow m|(b-a)$$\Leftrightarrow a\equiv b(mod\; m)$ ,在 $Z/mZ$ 上定义运算" $+$ "： $[a]+[b]=[a+b]$ , $(Z/mZ,+)$ 是一个交换群,称为整数模m的剩余类加群

证明：

$运算"+"是良性定义$

$即\forall [a_1]=[a_2],[b_1]=[b_2]$

$有[a_1+b_1]=[a_2+b_2]$

$下证结合律成立$

$\forall a,b,c\in Z$

$由带余除法$

$\exists q_1,q_2,r_1,r_2\in Z,使得$

$a+b=q_1m+r_1$

$r_1+c=q_2m+r_2$

$0\le r_1,r_2\lt m$

$\therefore ([a]+[b])+[c]=[r_2]$

$同时,\exists q,r\in Z,0\le r\lt m$

$使得a+b+c=qm+r$

$\therefore q=q_1+q_2,r=r_2$

$即([a]+[b])+[c]=[r]$

$若令b+c=q_3m+r_3,a+r_3=q_4m+r_4$

$则[a]+([b]+[c])=[r_4]$

$又r_4=r$

$\therefore ([a]+[b])+[c]=[r]=[a]+([b]+[c])$

$即结合律成立$

$\forall [a]\in Z/mZ,有[0]+[a]=[a]+[0]=[a]$

$即[0]为单位元$

$\forall [a]\in Z/mZ,有[a]+[m-a]=[m-a]+[a]=[m]=[0]$

$即逆元存在$

$\forall [a],[b]\in Z/mZ,有[a]+[b]=[b]+[a]=[a+b]$

$\therefore (Z/mZ,+)是交换群$

2.二面体群

中心在原点,边与坐标轴平行的正方形,设R表示将正方形ABCD逆时针旋转 ${\pi\over 2}$ 的旋转变换, $T_x,T_y,T_{AC},T_{BD}$ 分别表示以x轴,y轴,直线AC,直线BD为对称轴的反射,设I为恒等变换, $D_4=\{I,R,R^2,R^3,T_x,T_y,T_{AC},T_{BD}\}$ , $D_4$ 关于变换的乘法构成一个群

1. $D_4$ 关于变换的乘法封闭

2. $D_4$ 中的乘法满足结合律

3.恒等变换I为 $D_4$ 中的单位元,即 $\forall x\in D_4$ ,有 $Ix=xI=x$

4. $T_x^2=T_y^2=T_{AC}^2=T_{BD}^2=I$ ,故 $T_x,T_y,T_{AC},T_{BD}$ 可逆,且逆元为自身, $R^4=I$ ,故 $R$ 与 $R^3$ 互逆, $R^2$ 的逆为 $R^2$

$D_4$ 是一个群,称为8阶二面体群

3.四元数群

设复数域C上的四个二阶矩阵为

$I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},A=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}$

令 $H=\{\pm I,\pm A,\pm B,\pm C\}$ ,则 $H$ 为一个非交换群,显然H对乘法封闭,且满足结合律,I为单位元, $A^{-1}=-A$ , $B^{-1}=-B$ , $C^{-1}=-C$ ,群H称为四元数群(Hamilton群)

有限群的乘法表

由群的定义,当群中任意两个元的乘积知道后,该群就完全确定,对有限群 $G=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ ,可用一个表来描述G中的乘法

$\begin{array}{c|cc}\cdot&a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ \hline a_1&a_1\cdot a_1&a_1\cdot a_2&a_1\cdot a_3&\cdots&a_1\cdot a_n\\ a_2&a_2\cdot a_1&a_2\cdot a_2&a_2\cdot a_3&\cdots&a_2\cdot a_n\\ a_3&a_3\cdot a_1&a_3\cdot a_2&a_3\cdot a_3&\cdots&a_3\cdot a_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_n&a_n\cdot a_1&a_n\cdot a_2&a_n\cdot a_3&\cdots&a_n\cdot a_n\\ \end{array}$

称为群G的乘法表

注：若群为交换群,则乘法表关于其主对角线对称