线性代数的本质（1）

2019-05-31 本文已影响11人 To_QT

1. 向量究竟是什么？

向量有2种解释：

空间中的箭头。决定向量的是它的长度以及它所指向的方向。
有序的数字列表。假设正在做一个房价的预测，那么， $\begin {bmatrix} 100 \\ 22 \end {bmatrix}$ 就是一个二维的向量。
其中，每一个数字告诉你在坐标轴中沿该方向走多远。

2. 向量的线性组合、基、张成的空间

$\begin {bmatrix} 100 \\ 22 \end {bmatrix}$ 表示了这两个数如何拉伸或者压缩一个向量。

基

而在 $xoy$ 坐标系中，有两个特殊的向量，即 $x$ 方向的单位向量， $y$ 方向的单位向量（基向量）。该空间中的任意向量都可以为这组向量经过缩放或者相加后得到的结果

向量的线性组合

$\overrightarrow{u}$ ， $\overrightarrow{v}$ 是两个向量，则 $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ 是 $\overrightarrow{u}$ 与 $\overrightarrow{v}$ 的线性组合。

张成的空间

$a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ 组合的所有结果称为 $\overrightarrow{u}$ 与 $\overrightarrow{v}$ 张成的空间

线性相关

$\overrightarrow{u}$ ， $\overrightarrow{v}$ 是两个向量，如果至少有一个向量对张成的弓箭没有任何的贡献，则称为是线性相关的。（ $\overrightarrow{u}$ 与 $\overrightarrow{v}$ 本来可以张成一个面的，结果二者搞成了一条线，则说明 $\overrightarrow{u}$ 与 $\overrightarrow{v}$ 是线性相关的。）
严格的说，某一个向量是其他向量的线性组合，则蓓表示的向量与其他向量是线性相关的。

3. 矩阵与线性变换

线性变换（旋转与剪切）

线性变化类似于函数的功能，输入一个向量，并且输出该向量的变换。
当满足如下两个条件时，变换为线性的：

直线在变换之后仍然为直线，没有发生弯曲。
原点必须保持固定

捕捉线性变换的方式：

若 $\overrightarrow{w}： \begin {bmatrix} x \\ y \end {bmatrix}$ 是任意一个向量。 $\overrightarrow{i}: \begin {bmatrix} a \\ c \end {bmatrix}$ 与 $\overrightarrow{j}: \begin {bmatrix} b \\ d \end {bmatrix}$ 为基向量，则只要记录下 $\overrightarrow{i}$ 与 $\overrightarrow{j}$ 的变化，就可以推断出 $\overrightarrow{w}$ 在变换之后的位置，不必在乎原本 $\overrightarrow{w}$ 是什么样的
图1. 线性变换的本质
也可以把矩阵向量的乘法看作他们的线性组合

4. 行列式

行列式的几何意义？

线性变换的另一个角度的理解：度量了一个变换对空间究竟有多少的拉伸或者挤压。更具体的：测量一个给定区域面积增大或者减少的比例。
以 $\begin {bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end {bmatrix}$ 为例，就是把单位向量变换成了一个 $2*3$ 的矩形。同理，对于该向量空间的其他面积来说，变换比例与单位面积变换的比例相同。

图2. 行列式的几何意义

行列式为0，代表着什么？

若变换为0，则是将该向量空间压缩到了一条直线或者一个点上。

可以这么说，二维空间的行列式给出的是面积放缩的比例，那么在三维空间中，行列式给出的是体积放缩的比例。

图3. 二维向量中行列式变换过程对应的物理意义

5. 逆矩阵、列空间与零空间

图4. 方程组与行列式
在上图中，矩阵代表一种线性变换，因此，求解，意味着需要寻找一个向量，使得变换后与重合。

行列式与方程组的解之间，有啥关系吗？

一般来说，矩阵中两个变换的相继作用体现为矩阵的乘法，在图4中，只要矩阵 $A$ 不将 $\overrightarrow{x}$ 降维（ $A$ 的行列式不为0）它就存在逆变换。如果 $A$ 的行列式为0，那这个变换就对空间进行了降维打击，此时就没有逆变换，因为将一条线解压缩称为一个面是没有意义的

行列式为0，解可能存在吗？

但是，当矩阵 $A$ 的逆变换不存在的时候，解依然可能存在，例如当矩阵 $A$ 刚好将三维空间降维压缩成二维的一条线，运气做够好我们的 $\overrightarrow{v}$ 向量刚好处在这根线上，那么，这样的情况解就存在。

秩是啥玩意？

矩阵 $A$ 的变换结果是一维的（一条线），这个时候秩为1。秩代表的是变换后空间的维度

列空间

矩阵 $A$ 代表着基向量变换后的结果，故而，列空间就是矩阵 $A$ 的列所张成的空间。

零空间

变换之后，向量落在原点的集合。

6. 非方阵

$\begin {bmatrix} 3 \\ 2 \end {bmatrix}$ 经过变换后得到 $\begin {bmatrix} 1 \\ 7 \\ 8 \end {bmatrix}$ ：意味着：

维度为3*2的矩阵。

同样的：

$\begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 7 & 4 \\ 8 & 2 \end {bmatrix}$ 所代表的就是：在三维空间中过原点的二维平面。（将三维映射到二维上，每一个基向量（共两个）在变换后都用三个坐标表示）
$\begin {bmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 7 & 4 & 2 \end {bmatrix}$ 则代表的是：将一个三维的压缩成二维的。
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