自然常数e

2020-11-06 本文已影响0人看远方的星

$\int_{1}^{x}\! x^{\beta }dx=\frac{1}{\beta +1}x^{\beta +1}-\frac{1}{\beta +1}=\frac{x^{\beta +1}-1}{\beta +1}$

当 $\beta$ =-1时分母为零，不可求，也就是说无法使用定积分直接求出反比例函数下的面积。那就转换思路，让 $\beta$ 趋近于-1，让面积为一个定值y，求出x。

$\frac{x^{\beta +1}-1}{\beta +1}=y$

当y=1时，求得x刚好等于一个常数e
当y为一般数时，求得： $x=e^{y}$ （指数函数—"某个数的几次方"关系的函数）

互逆表达： $x=e^{y}$ （指数函数）转换为 $y=log_{e}x$ (对数函数)

最后，当 $\beta$ 趋向于-1时，可得

$\int_{1}^{x}\! x^{\beta }dx=\frac{x^{\beta +1}-1}{\beta +1}$ → $log_{e}x$

当 $\beta$ 等于-1时，可得

$\int_{1}^{x}\! x^{\ -1}dx=log_{e}x$

e的图形意义