数值求解弯曲空间中的经典弦理论运动方程的技巧：Circular

2020-04-25 本文已影响0人周思益

我们从弦理论的Nambu-Goto action开始

Nambu-Goto action

从这个Nambu-Goto action出发可以得到如下的运动方程。注意这个运动方程跟Polchinski书上的运动方程不一样。

equation of motion of the Nambu-Goto action in curved space

我们想看弦论在 $dS_3$ 空间的运动情况

Global coordinates of dS3

因为是Circular String，所以我们可以用如下的ansatz来描述这个弦

解了上面弦论的运动方程之后出现了三个方程

第一个方程是对q做variation，这个方程是

q equation of motion

第二个方程是对 $\theta$ 做variation，这个方程

\theta

equation of motion

第三个方程是对 $\phi$ 做variation，这个方程是trivial的

0=0

现在任务就是求解这两个方程。这两个方程看起来非常复杂。是关于q和 $\theta$ 的二阶微分方程。直接把这两个方程放入到Mathematica中之后发现不能求解。就是数值精度太差。所以要化简这两个微分方程。化简办法是首先选取一个gauge。因为我们知道这个弦论的internal space可以自由选取gauge。我们选取的gauge是

$q=\tau$

在这个gauge之下，这两个方程都化成了关于 $\theta,\dot\theta,\ddot\theta$ 的方程，为了进一步化简，我们把 $\theta$ 的运动方程写成

$\ddot \theta = f(\theta,\dot \theta)$ （1）

的形式。这一步的目的是两个方程联立求解， $\ddot\theta$ 消去。

把（1）代入到q的运动方程之中。奇迹出现了。

原来跟q有关的运动方程化成了一个trivial的0=0的方程。跟 $\theta$ 有关的运动方程变成了一个只含有 $\theta$ 和 $\dot\theta$ 的一阶微分方程。现在这个方程用数值求解稳定性就非常好了。

这是一个初学者不知道的小技巧。

数值求解弯曲空间中的经典弦理论运动方程的技巧：Circular

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