平均场方法处理有Hubbard相互作用的模型

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今天我汇报的主要内容是前段时间学习的，运用平均场的方法处理具有Hubbard相互作用的模型。上学期我学习的一些有关拓扑绝缘体的基本模型，都是基于单电子模型，并没有考虑电子之间的库仑相互作用，而相互作用可以带来更丰富的物理现象。对于此类多体问题，为了求解，Hubbard采取了极为简单的近似，即只考虑同一轨道上自旋相反的两个电子之间的库仑相互作用。将多体问题，简化为两体问题。 然后我们用平均场的方法，将两体问题进一步简化为单体问题，从而方便的求解体系的哈密顿量，得到体系的一些物理性质。
我这里主要介绍两个模型，一个是经典的Bose-Hubbard模型，另一个是QAH-Hubbard模型，是在冷原子系统中实现的QWZ模型的基础上加入电子相互作用，属于Fermi-Hubbard模型。两者的共同之处是都用平均场理论将有耦合的“两体”问题解耦，简化为“单体”问题。不同之处是，前者用朗道的相变理论得到了莫特相到超流相的转变。后者采用自洽计算来求体系中自旋不同的电子浓度。
我们先看Bose-Hubbard模型，零温下玻色体系，由下面的哈密顿量来描述，主要包含三项，第一项是粒子在最近邻格点之间的跳跃，第二项是粒子的在位势能，这在我们之前学习的模型中经常涉及。第三项是同一格点处的粒子间的Hubbard相互作用。（BH模型在零温下有两种相，我们取两种极限定性分析。当t远大于U，认为U=0，此时粒子可在格点间任意跳跃，不受束缚，即为超流相；当t=0，U>1的时候，为莫特绝缘相，粒子局域在固定格点）第三项的具体推导如下，将波函数用实空间基矢万尼尔函数做展开，n为能带数，i为格点数，这里我们取基态。将展开系数用二次量子化的形式写成产生湮灭算符的形式，ai dagger即在第i个格点产生一个粒子，aj在第j个格点湮灭一个粒子。最后一步采用Hubbard模型的近似方法，只取同一格点处的粒子间的相互作用。
当U=0的时候，我们在K空间下求解，将产生湮灭算符的傅里叶变换式带入哈密顿量化简，得到对角化的哈密顿量，对角元素是epsilon k-mu。其中第一项，以一维为例，化简如下。零温下，所有粒子占据能量最低的态，即k=0的态。当体系的粒子数为N的时候，基态波函数为用N个产生算符作用在真空态上。同样可以用傅里叶变换到实空间，k=0，e指数项为1.可以看到所有的玻色子都以1/M的概率分布在任意晶格位置上，如图所示，表明所有玻色子可以在整个晶格上自由移动。这与我们先前定性分析的一致，为超流相。
当t=0的时候，利用玻色子产生湮灭算符间的对易关系和粒子数算符，可以将哈密顿量在粒子数表象下用粒子数算符表示出来。可以看到哈密顿量在每个格点的形式都一样，我们只需要拿出一个格点来分析。局部哈密顿量的本征值可以直接写出来，而整体的基态波函数可以写成格点波函数直积的形式。可以看到ni个粒子局域在第i个格点。图片显示了n=1的情况。
以上我们定量分析了两种极端的情形，下面我们来求解两种状态转变时的参数条件。
利用玻色子产生湮灭算符间的对易关系和粒子数算符，可以将相互作用项改写为粒子数算符的形式，从而在粒子数表象（Fock 空间）下进行求解。因为哈密顿量中含有不同格点间产生湮灭算符的耦合项，利用平均场的方法进行解耦。具体的方法是将产生湮灭或者湮灭算符表示成其平均值加上一个微小的扰动（Q：是否可解释为由跳跃项引起？）。代入上式的即可得到如下的哈密顿量。考虑最近邻的跳跃，引入配位数Z，则哈密顿量进一步简化为只对第i个格点求和。现在我们可以关注一个格点上的局部哈密顿量。在粒子数表象下我们可以写出h0的本征值，将Vt视作微扰。然后用微扰论的方法，求解。带入微扰论的能量以及波函数修正公式，运用产生湮灭算符的本征方程，可以求得能量的二级和四级修正，从而得到体系能量的近似解。
可以看到能量可以展开成序参量的偶次幂，依据朗道的相变理论，当a4>0的时候，在a2=0的时候，产生相变。体系处于稳态的时候，能量取最小值，取一阶偏导，可以求出可能的极值点，二阶偏导大于0的时候，能量取极小值。当a2>0时，phi=0，当a2<0时，phi=根号下-a2/2a4。在a2=0的两侧，序参量取值不同，即a2=0的时候，系统发生相变。取特定的粒子数，可以画出由其他参数决定的相变曲线，这里做了一个参数变换，纵轴为次mu，横轴为omega，不同颜色的曲线即粒子数取不同值时的相变边界。右侧为超流相，序参量phi不为0；左侧为莫特相，序参量phi为0。曲线与次mu轴的交点，可以由求根公式得到。莫特叶尖端的omega c的值，将次mu=-b/2a带入，可以求得。这里以n=1为例，约等于0.172。

第二个模型是QAH-Hubbard模型，是在QWZ模型的基础上加入电子相互作用。其中第一项Hk0具有QWZ模型哈密顿量的形式，mz、t0和tso分别是塞曼耦合系数、自旋守恒和自旋翻转的跳跃系数。Ck是k空间的旋量算子。第二项是同一轨道上自旋相反的电子间的库仑相互作用。同样地，我们用平均场方法进行解耦，并利用傅里叶变换，表示成k空间的形式。与之前类似，我们仍然将算符表示成其平均值加上一个微小的扰动，忽略高阶项，再利用产生湮灭算符的傅里叶变换和归一化条件，得到最终的形式。此时哈密顿量可以用旋量波函数基矢下进行表示。其中ns是自旋为s的粒子数浓度。但是我们注意到，在求解该哈密顿量的时候，对角项含有未知量ns，而ns又依赖于哈密顿量的本征波函数。我们采用自洽算法，简单来说就是先猜一个数值带入自洽方程求解，将新值与旧值对比，小于我们预设的误差值，说明我们猜的很对；否则替换旧值，迭代求解，直到误差小于预设值。这是利用自洽算法求得的粒子数浓度相图。步长不需要很大，否则多重for循环，程序运行很慢，求的离散值之后用matlab自带的方法进行拟合，得到三维曲面，再向xy平面投影后，进行着色。