2020-10-26

    平时我们在学习过程中，为了检验能力，肯定是要测试的。而在我们这次的测试中有这样一道题：

    一个有理数比它的倒数小，那么这个有理数的取值范围是：

A.正有理数    B.负有理数    C.大于零小于一的有理数    D.以上都不准确

    那么遇上这样一道题，我们该怎么办呢？首先还是得慢慢的从各个选项中找答案。一般说到这种类型的题，我们首先想的不应该是证明哪一个选项代表的观点是否是对的或者是这个选项给出的例子是否正确，因为想要证明一个观点是对的很难，要是只举出可能的例子那有成千上万，而且搞不好全都是特例。但是想要证明它是错的就很简单了，只需要有一个反例就可以证明。

    我们得先从正有理数这个选项开始看起。可以先随便举一个例子，例如说5，5的倒数是多少？1/5。那么5是否比1/5小呢？这个例子成立吗？并不成立。所以A选项只需要这样一个简单的例子就可以推翻。但是当我们遇到这种题，这种让你分辨它的范围大小的，让你判断正负性的，分别列举正负例的，首先要做的就是分类讨论。正有理数可以分为哪几类？其实当我们把重复的漏掉的全部补上之后，就会发现，正有理数中其实就包括了两种数，正真分数与正假分数。正整数都是可以用正假分数的形式表示的，如果再加上的话，只会让他们俩重复。我们刚才所举的例子就是正假分数，但是只说到了正假分数中的其中一种。正假分数中，除了包括分子大于分母的假分数，还有分子等于分母的假分数。当分子等于分母的时候，这个数的倒数就与原来相同，都是1。那么正真分数呢？想一想，如果分子小于分母，那么这个数的倒数肯定分子就大于分母啊！所以我们得出来另一个结论，A选项中，只有正有理数中的正真分数才能成立。

    接下来是B选项。负有理数。就跟上面相同，负有理数的分类方法跟正有理数是一样的，都可以分为真分数与假分数。但是负数和正数最大的不同是什么呢？负数绝对值越大，那么这个数在数轴上反而越靠左，也就是越小。而正数绝对值越大，这个数自然也就越大。那么首先从负假分数看起。如果是分子大于分母的情况，那么将其转变成倒数，分子就会小于分母。如果放在正数中，明显是成立的。但是正如我们上面所说，绝对值越小，负数才越大。所以负假分数是成立的。分子等于分母的情况与上面的结果依旧不变，只不过是变成了-1。而负真分数呢，原本分母大于分子，转换为倒数分子大于分母，放在负数的情况下，反而越变越小了。所以负真分数不成立。

    那么我们这时候来看选项C。这个选项可谓是所有选项之中最像对的的那一个，仔细想一想，大于0而小于1的数肯定都是真分数，而真分数我们在解决选项A的时候已经说到过了。真分数都是可以成立的，例如1/5、1/2等等。但是这道题问的并非是哪一个选项是正确的，而是所有的选项范围。也就是说这一个选项必须要涵盖所有的范围。可是选项C似乎只说到了正真分数，那么负假分数不是也成立吗？那么这就是说明选项C所说的不完整，漏掉了负假分数这一范围。

    经过整个的分类讨论，我们得出了一个结果。以上选项都不正确，所以！是D。这也就是如何进行分类讨论的方法了。