重读高中物理（Ⅸ）：高斯定理和环路定理

静电场的高斯定理和静磁场的环路定理提供了计算电场强度和磁感应强度的强有力工具，这是高中物理望尘莫及的。

高斯定理在计算对称分布的电荷系统的电场强度时具有极大的威力，但是高斯定理可否求界面处（比如带电球面的球面）的场强呢？

回答是否定的。要支持这一结论，只有找到一个反例即可。比如下面的例子。

例题1  均匀带电球面半径为R，带电量为Q，求球面内外任意点的电场强度。

解：做高斯面S1（0<r<R）和S2(r>R)（见图1），用高斯定理求得场强分布如图2

图1 高斯面 图2 电场分布

显然，电场强度在r=R处不连续，这样高斯面不能选在r=R处。

球面、球体、球壳的电场强度计算都有这个问题。进一步研究表明，对于球面、球体、球壳这样的均匀带电体，连续、不连续界面处的场强等于两边场强的平均值。

与高斯定理类似，环路定理计算磁感强度时也有这个问题。当电流均匀分布在柱面、柱体、柱壳时，连续、不连续界面处的场强（磁感强度）是否仍然等于两边场强的平均值？

例题2 一半径为a的无限长圆柱面，沿轴向的电流强度为I，求柱面内外的磁感应强度，磁感应强度随距离变化的规律是什么？

答案：界面处磁感应强度不连续；另外，界面磁感应强度等于两边场强的平均值。

例题3 如果电流均匀分布在同样大小的圆柱体截面上，求解同样的问题。

答案：界面处磁感应强度连续；另外，界面磁感应强度等于两边场强的平均值。

例题4 一圆柱壳内部是空腔，内外半径分别为b和a，电流强度仍为I，均匀分布在截面上，求空间各点的磁感应强度。对于不同厚度的空腔，电流的磁场随距离变化的规律是什么？

答案：当壳层厚度有限时，界面处磁感应强度连续。当壳层厚度等于0时，界面处磁感应强度不连续。但界面磁感应强度均等于两边场强的平均值。

关于例题2至4的结论的详细分析，可参看文献[1]。下图（图3）是文献1结论部分的一个截图。

图3 文献[1]结论部分截图

参考文献：

[1]魏茂梅，无限长直均匀载流圆柱面面上的磁感应强度， 见《考试与评价》2016年05期。