二元连续型随机变量，联合概率密度

2020-05-01  本文已影响0人  大梦三千秋

二元连续型随机变量，联合概率密度

联合概率密度函数

定义：对于二元随机变量 (X, Y) 的 分布函数 F(x, y)，如果存在非负函数 f(x,y)，使对于任意 x,y，有

F(x,y) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u, v)\,{\rm d}u{\rm d}v

称 (X,Y) 为二元连续型随机变量。

并称 f(x,y) 为二元随机变量 (X,Y) 的 （联合）概率密度（函数）。

概率密度的性质

  1. f(x,y) \geq 0

  2. \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\, {\rm d}x {\rm d}y = 1

  3. 设 D 是 xoy 平面上的区域，点 (X, Y) 落在 D 内的概率为：

P((X,Y)\in D) = \underset{D}{\iint}f(x,y) \,{\rm d}x{\rm d}y

  1. 在 f(x,y) 的连续点 (x,y),有 \cfrac{\partial^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}= f(x,y)

例 1： 设二元随机变量 (X,Y) 具有概率密度：

f(x,y)= \begin{cases} ke^{-(2x+3y)}, & x>0,y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

（1）求常数 k；
（2）求分布函数 F(x,y)；
（3）求 P(Y\leq X) 的概率。

解：（1）

\begin{aligned} 1 &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y) \, {\rm d}x{\rm d}y \\ &=\int_{0}^{\infty} \, {\rm d}x \int_{0}^{\infty} ke^{-(2x+3y)} \, {\rm d}y=k\int_{0}^{\infty}e^{-2x} \, {\rm d}x \int_{0}^{\infty} e^{-3y} \, {\rm d}y \\ &= k\left(-\cfrac{1}{2}\, e^{-2x}\right)_{0}^{\infty}\left(-\cfrac{1}{3}\, e^{-3y}\right)_{0}^{\infty} = k/6 \implies k = 6 \end{aligned}

前面已得：

f(x,y) \begin{cases} 6e^{-(2x+3y)}, & x>0, y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

（2）

\begin{aligned} F(x,y) &= P(X\leq x, Y\leq y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} f(u,v) \, {\rm d}x{\rm d}y \\ &=\begin{cases} \int_{0}^{x}\,{\rm d}u\int_{0}^{y}6e^{-(2u+3v)}{\rm d}v, & x>0,y>0 \\ 0, & \text{除第一象限} \end{cases} \\ &=\begin{cases} \int_{0}^{x}\,2e^{-2u}{\rm d}u\int_{0}^{y}3e^{-3v}{\rm d}v, & x>0,y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \\ &=\begin{cases} (1-e^{-2x})(1-e^{-3y}) & x>0,y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \end{aligned}

前面已得：

f(x,y) \begin{cases} 6e^{-(2x+3y)}, & x>0, y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

(3)

\begin{aligned} P(Y\leq X) &= \underset{y\leq x}{\iint}f(x,y) \,{\rm d}x{\rm d}y \\ &=\int_{0}^{\infty}\,{\rm d}y \int_{y}^{\infty}6e^{-(2x+3y)} \,{\rm d}x \\ &= \int_{0}^{\infty}3e^{-3y}e^{-2y}\,{\rm d}y \\ &= \int_{0}^{\infty}3e^{-5} \,{\rm d}y = -\cfrac{3}{5} e^{-5y} |_{0}^{\infty} = \cfrac{3}{5} \end{aligned}

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