《计算机图形学基础》之变换矩阵

2021-06-01 本文已影响0人烂醉花间dlitf

6.1 2D 线性变换

缩放变换 是最基本的变换，可以改变向量的长度和方向。

错切变换，在一个轴向上根据另一个轴上的值以一定比例移动，看图很容易明白。沿 $x$ 轴和沿 $y$ 轴上的错切矩阵分别如下：

沿 x 轴的错切

沿 y 轴的错切

沿 $x$ 轴的错切也可以理解是沿 $y$ 轴顺时针旋转 $\phi\$ （与 $y$ 轴的夹角）：

沿

y

轴的错切也可以理解是沿

x

轴逆时针旋转

\phi\

（与

x

轴的夹角）：

旋转变换，证明过程略，逆时针旋转 $\phi\$ 的矩阵为：

顺时针旋转

\phi\

的矩阵为（其实就是把所有的

\phi\

换成

-\phi\

）：

rotate(\phi)=\begin{bmatrix} cos\phi & sin\phi \\ -sin\phi & cos\phi \end{bmatrix}

可以看到旋转矩阵是 正交矩阵，并且有两对正交向量，一对是第一行和第二行向量；一对是第一列和第二列向量。每一行会被带给标准基向量（ $(1,0)(0,1)$ ），标准基向量会被带给每一列。简单来说就是，对标准基向量进行一个 $R$ 旋转变换，就会变成 $R$ 的列向量，看下图的 $(0,1)$ 点，变换后为 $(-0.707,0.707)$ ，就是 $R$ 的第二列（因为 $0,1$ 相当于是 $y$ ，所以是第二列）；对 $R$ 的每一行做 $R$ 的旋转变换，结果就是标准基向量，看下面的 $(0.707,-0.707)$ ，变换后为 $(0,1)$ 。

反射变换 是一种使用负数的缩放变换，下面分别是关于 $y$ 轴的反射变换矩阵，和关于 $x$ 轴的反射变换矩阵：

有人会认为矩阵的左上角和右下角都为 $-1$ 时，也是一种反射变换（关于原点的反射），但实际上那只是 $\phi=\pi$ 的旋转变换而已。

我们经常需要对一个图案进行多种变换，这些变换可以通过将他们的变换矩阵连乘进行合并，比如需要先对 $v_{1}$ 进行 $S$ 变换得到 $v_{2}$ ，然后再对 $v_{2}$ 进行 $R$ 变换得到 $v_{3}$ ，那么有以下转换：

也就是说我们可以把所有需要用到的变换，从右往左 依次乘起来，在读变换的时候也要注意是 从右往左，比如

RS

是先应用

S

变换，再应用

R

变换。

有时候我们也需要将一个组合的变换进行分解，所有的 2D 矩阵都可以通过 奇异值分解（SVD） 成为旋转、缩放、旋转的形式。下图是把一个错切变换进行 SVD 的过程：

我们先从 对称矩阵 开始，对称矩阵可以通过特征值分解成

A=RSR^{T}

的形式。

$R$ 是正交矩阵，我们称他的列为 $v_{1},v_{2}$
$S$ 是对角矩阵，从左上到右下依次为 $\lambda_{1},\lambda_{1}$
（这一块不明白的可以看这里）

我们可以把 $R$ 当做是一次旋转，把 $S$ 当成是一次缩放，那么其实就是一个组合变换，请结合下面的文字看图：

将 $v_{1},v_{2}$ 旋转到跟标准基坐标对齐（ $R^{T}$ ）
在标准基坐标上进行缩放（ $S$ ）
旋转回原来的角度（ $R$ ）
任意对称矩阵 A，也被叫做非轴对齐的非均匀缩放变换

我们可以发现对于 对称矩阵 来说，变换的表现就是沿着一对基向量进行非均匀缩放，这一对基向量依然是正交的，跟标准基向量没什么不同，只是整体方向不一样。而这一对基向量正是 对称矩阵 的特征向量。
看一个例子：

这个式子上一篇中计算过了
对应的结果如下图，实际上是在以 特征向量为轴，并进行了大小为 特征值 的缩放的过程。可以看出对称矩阵有 三个自由度，一个旋转，两个缩放。

对于非对称矩阵，我们可以使用 奇异值分解（SVD），对此有疑问的可以看这里。他与特征值分解基本一样，不同的是左右旋转矩阵不再是同一个，而是分为两个，特征值分解的结果是 $A=RSR^{T}$ ，而奇异值分解写成 $A=USV^T$ ，这里的 $U$ 依然是一个正交矩阵，列是 左奇异向量， $V$ 也是一个正交向量，列是 右奇异向量，S依然是对角矩阵，对角线上是奇异值。

可以看到，奇异值分解的几何意义跟特征值分解相似，但变换的角度不再是一样的。

前面提过对于非对称矩阵

A

奇异值是对称矩阵

M=AA^{T}

的平方根，但是我们默认是取正的，这是因为取负的是没有必要的，因为我们可以 随时反转某个奇异值的符合和他对应的奇异向量的方向，结果是一样的，从图形中来看就是带着坐标轴一起反转了，所以是一样的。
对于

2\times 2

的矩阵，有四个自由度，两个缩放，两个旋转，还有一个反射，但这个包含在旋转里面了。因为旋转矩阵里面也包含了反射，当行列式结果为

-1

时为反射，当结果为

1

时为旋转。当实际是反射，但期望得到旋转的时候，可以将其中一个奇异值取负来把它变成旋转矩阵，这样的话，反射就不是跟随这旋转，而是跟随着缩放了。结果依然是 旋转——缩放——旋转 的形式。

还有一种旋转的分解叫做 Paeth 分解，这是将旋转分解成错切的方式，最大的好处就是不会在图像中出现间隙，下面是分解公式：

举个例子，如果要旋转 45°，那么写作：

分解的过程如下：

6.3 3D 线性变换

顺着笛卡尔坐标系的缩放矩阵为：

绕着 z 轴，x轴，y轴 逆时针旋转的矩阵分别为：

注意围绕 y 轴的时候有点不一样，这个我的理解是左上角的 4 个逐渐向右下角移动，当超出边界的时候，右边超出的列往最左边补，下面超出的行往最上面补。因为 x-y-z-x-y-z-x-... 其实是循环的。
也可以在特定轴上进行错切变换，下面是在 x 轴上进行错切，沿着哪一个轴，就是在哪个轴上值不变。

在 3D 中，跟 2D 一样，可以将对称矩阵进行特征值分解，对非对称矩阵进行奇异值分解。

如何将一个点绕着 3D 中任意轴进行旋转呢？假设该点为 $P$ ，旋转轴为 $a$ （这里的 $a$ 是起点为原点的向量，所以不涉及平移），那么如果能构建一组以 $a$ 为 $z$ 轴的基向量，并把 $P$ 转换到该空间，进行旋转，再转回来就可以了。
第一步：构建以 $a$ 为 $z$ 的一组正交基
首先我们将 $a$ 进行归一化得到 $w$ ：

再找一个跟

w

不同，并且也不是很接近的向量

t

，比较简单的一个办法就是直接将

w

的最小值改成 1。然后使用叉乘找到第二个正交基

u

：

最后再次使用叉乘得到第三个正交基：

我们只关心

w

，剩下两个并不重要，只需要他们存在就够了。

第二步：构建空间转换矩阵
假设我们有一组基向量， $x=(0,0,1),y=(1,0,0),z=(0,1,0)$ ，还有一个点 $P=(1,0,1)$ ，将 $x,t,z$ 按行来摆好，写成 $R=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ 我们可以提前知道 $P$ 在上述基向量中的坐标应该为 $(1,1,0)$ ，正是 $RP=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 的结果。下面是书上的证明过程，有兴趣的可以看一下，没兴趣就记着我们可以用任意的一组正交基，把 $x$ 三个分量摆第一行，把 $y$ 三个分量摆第二行，把 $z$ 三个分量摆第三行，总而构建出转换到该空间下的转换矩阵。并且再次乘其转置，就可以再次变回来。

第三步：实现
也就是按上面所说的，先转换空间（从右往左看），再绕着转换后空间内的

z

轴，实际上（也就是在一开始的标准基向量空间）是

a

向量的旋转我们期望的

\phi

度，最后再转换回一开始的空间。注意转换空间的意思只是坐标改变了，但世界上位置不变，就像步骤一里面的

P

一样，他一直都在

(1,0,1)

的位置，只不过在另一个空间的坐标为

(1,1,0)

，我们只是让它在这两个坐标之间做转换。

上面所说的变换都是方向或者点，还有一种特殊的向量叫做法线，如果图形应用的变换矩阵我们称为 $M$ ，那么 $n$ 经过 $M$ 变换之后不再垂于表面，但切线 $t$ 依然与表面相切。期望求出一个矩阵 $N$ ，使得 $n^{T}_{N}t^{M}=0$ ，其中 $n_{N}=Nn,t^{M}=Mt$ 。

下面是证明过程，有兴趣的可以看一下，没兴趣的可以直接跳过图片看结论。

我们并不关心法线的长度，只需要知道它的方向，所以在知道了

n_{N} =(M^{-1})^{T}n

之后，按照求逆的公式

A = \frac{1}{|A|}\begin{bmatrix} a_{11}^{c} & a_{21}^{c} & a_{31}^{c} & a_{41}^{c} \\ a_{12}^{c} & a_{22}^{c} & a_{32}^{c} & a_{42}^{c} \\ a_{13}^{c} & a_{23}^{c} & a_{33}^{c} & a_{43}^{c} \\ a_{14}^{c} & a_{24}^{c} & a_{34}^{c} & a_{44}^{c} \end{bmatrix}

，我们可以把

\frac{1}{|A|}

去掉，所以：

进一步就是：

6.3 仿射变换和齐次坐标

以上所有的变换都是 线性变换（原点不变，且直线变换后依然是直线）,而平移变换并不满足。我们把一个线性变换 + 一次平移的操作叫做 仿射变换，通过增加一个维度的方式来实现，叫做 齐次坐标。
我们把一个 2D 中的点 $(x,y)$ 写成 $(x,y,1)$ ，把 $2\times 2$ 的矩阵写成：

这样应用变换就将写成：

也就巧妙在不改变线性变换的计算时，加入了平移变换。当我们 不想进行平移操作，只想进行线性变换的时候，对于不是位置的向量，比如说偏移，或者方向，确实也不应该在改变物体的时候进行平移。那可以

\begin{bmatrix}x' \\ y' \\ 1\end{bmatrix}

中的

1

变成

0

。并且在变换之后，

0

依然是

0

，也就是方向向量依然是方向向量。（女少）

我们可以把任意多个线性变换和平移变换组合成一个矩阵，在 3D 中也一样，增加一个维度：

看一个例子，下图和式子是表示的同一个过程：

另一种类似的、在 3D 中的变换为，将一个盒子

[x_{l},x_{h}]\times [y_{l},y_{h}]\times [z_{l},z_{h}]

映射到

[x'_{l},x'_{h}]\times [y'_{l},y'_{h}]\times [z'_{l},z'_{h}]

。矩阵为：

注意，我们先应用一个线性变换，然后再 进行平移，得到的矩阵还是可以很清楚的把线性和平移分离开来，如下面的式子所示。

变换中一个比较重要的类叫做刚体，他们只有旋转和平移组成，没有拉伸或者缩放。

6.4 变换的逆

我们知道了矩阵的几何意义之后，可以通过几何意义来进行逆操作，比如 $scale(s_{x},s_{y},s_{z})$ 的逆就是 $scale(1/s_{x},1/s_{y},1/s_{z})$ ；比如旋转矩阵的逆就是角度变成相反的符号；平移矩阵的逆就是相反的方向。如果我们有一系列的变换 $M=M_{1}M_{2}... M_{n}$ ，那么逆操作就是 $M^{-1}=M^{-1}_{n}...M^{-1}_{2} M^{-1}_{1}$ 。
不过，有些矩阵在代数上也是很好求的，比如说对于缩放矩阵，他是对角矩阵；第二重要的是旋转矩阵，他是正交矩阵，逆就是它的转置。所以使得求旋转和缸体的逆操作都变得简单。当然我们也需要知道，求完逆之后，原矩阵最下面一行不要动，比如是 $[0,0,0,1]$ 的话，那逆的最下面一行也是 $0,0,0,1$ 。
有趣的是，我们也可以使用奇异值分解来求逆，我们知道可以将一个矩阵分解成旋转——缩放——旋转的方式：