绝对圆锥曲线（Absolute Conic）

2019-04-24 本文已影响0人小鬼默默

先作几个假设：

假设1：存在一个无穷远处的平面α，那么该平面上的点可以表示为： $\tilde{x_{∞}} = [x1,y1,z1,0]^T$

假设2：存在绝对圆锥曲线，该曲线上的点满足： $x^2+y^2+z^2+w^2=0$ ，那么在假设1中的平面α内，该绝对圆锥曲线Ω满足： $x1^2+y1^2+z1^2=0$ ， $w=0$ 。

开始正式讲解：

若假设1中的点在假设2的圆锥曲线上，那么根据定义可以得到： $\tilde{x_{∞}} ^T\tilde{x_{∞}} =0$ 。

绝对圆锥曲线所具有的一条重要特性：对于刚体变换具有不变性，什么意思呢？只有物体的位置（平移变换）和朝向（旋转变换）发生改变，而形状不变，得到的变换称为刚体变换。比如将空间的点x经过刚体变换得到X：

$x=[R,t]X$

令变换矩阵为H：

那么上述的无穷远处点 $\tilde{x_{∞}}$ 经过刚体变换后可以得到：

上式中 $x_{∞}= [x1,y1,z1]^T$ 。很显然，变换后的点 $\tilde{x_{∞}}$ 也在无穷远。那么变换后的点 $\tilde{x_{∞}}$ 是否在圆锥曲线Ω上呢？我们计算一下：

$x_{∞}’^Tx_{∞}’=(Rx_{∞})^T(Rx_{∞})=x_{∞} ^TR^TRx_{∞}=x_{∞}^Tx_{∞}=0$

说明 $\tilde{x_{∞}}$ 也在绝对圆锥曲线Ω上！

假设绝对圆锥曲线Ω的像为ω（这个像也被叫做IAC，Image of the absolute conic），Ω上的点 $\tilde{x_{∞}}$ 的像点为 $\tilde{m_{∞}}$ ，那么：

可以得到： $s{A^-}^T \tilde{m} _{∞} ^T=x_{∞}^T R^T$ ， $s{A^-}^1 \tilde{m} _{∞}=Rx_{∞}$ ，因此：

$s^2\tilde{m} _{∞} ^T{A^-}^T{A^-}^1\tilde{m} _{∞} =x_{∞}^T R^TRx_{∞}=x_{∞}^T x_{∞}=0$

也就是说： $\tilde{m} _{∞} ^T{A^-}^T{A^-}^1\tilde{m} _{∞} =0$ 。

由此可知：绝对圆锥曲线 $x1^2+y1^2+z1^2=0$ ， $w=0$ 的像为 $\tilde{m} _{∞} ^T{A^-}^T{A^-}^1\tilde{m} _{∞} =0$ ，这个像完全由 ${A^-}^T{A^-}^1$ 决定，而A中全部为相机内参。因此找到绝对圆锥曲线的像曲线IAC，就可以求解到相机的内部参数。

参考：Camera Calibration 相机标定：原理简介（三） - yhl_leo - CSDN博客

绝对圆锥曲线（Absolute Conic）

先作几个假设：

开始正式讲解：

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