近世代数理论基础25：唯一分解整环

2019-03-03 本文已影响27人溺于恐

唯一分解整环

唯一分解整环

定义：若整环D满足：

1.D中任一不是0也不是单位的元都可分解成有限个不可约元的乘积

2.若D中元a分解成两种不可约元的乘积 $p_1p_2\cdots p_r$ 和 $q_1q_2\cdots q_s$ ,则 $r=s$ ,且适当调整次序后有 $p_i\sim q_i,i=1,2,\cdots,r$

则称D为一个唯一分解整环(UFD)

例：整数环、F[x]都是唯一分解整环

域也是唯一分解整环,域中除了零元,其他元都是单位

判断

引理：若整环D中任意两个元均有最大公因子存在,则D中每个不可约元都是素元

证明：

$设p是D中的不可约元$

$若p不是素元$

$则\exists a,b\in D,使p|ab$

$但p\nmid a且p\nmid b$

$\therefore (p,a)\sim 1,(p,b)\sim 1$

$\therefore (p,ab)\sim 1$

$与p|ab矛盾$

$\therefore p为素元\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：整环D是UDF的充分必要条件：

1.D中任意序列 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ ,其中每一个 $a_{i+1}$ 都是 $a_i$ 的真因子, $i=1,2,\cdots,n,\cdots$ ,只能含有有限项

2.D中每一个不可约元都是素元

证明：

$必要性$

$设D是UFD$

$若D中有一个无限的真因子序列$

$a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$

$其中a_{i+1}是a_i的真因子,i=1,2,\cdots$

$可设a_1\neq 0,a_1不是单位(单位没有真因子)$

$则a_1可分分解成无限个不可约元的乘积$

$与D是一个UFD矛盾$

$故第一条成立$

$\forall a,b\in D$

$下证a,b一定有最大公因子$

$a,b中有一个为0,或有一个为单位时$

$它们显然有最大公因子$

$设a,b都不是0,也不是单位$

$则a和b可唯一分解成不可约元之积$

$a=up_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_s^{k_s}$

$b=vp_1^{l_1}p_2^{l_2}\cdots p_s^{l_s}$

$其中p_1,p_2,\cdots,p_s为互不相伴的不可约元$

$k_i,l_i均为非负整数,u,v是D的单位$

$令d=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_s^{e_s}$

$其中e_{i}=min\{k_i,l_i\},i=1,2,\cdots,s$

$下证d为a和b的最大公因子$

$显然,d|a,d|b$

$若有c|a,c|b$

$由分解的唯一性$

$c=wp_1^{m_1}p_2^{m_2}\cdots p_s^{m_s}$

$其中w为D中的单位,m_i为非负整数$

$且m_i\le k_i,m_i\le l_i$

$\therefore m_i\le e_i$

$\therefore c|d,即d为a和b的最大公因子$

$第二条成立$

$充分性$

$设整环D满足条件1和2$

$先证D中任一不为0也不是单位的元a可分解成有限个不可约元的乘积$

$若a是不可约元$

$则a=a即a的一个不可约元的分解$

$若a不是不可约元$

$由条件1$

$a=p_1a_1$

$其中p_1为不可约元,a_1不是单位$

$若a_1是不可约元,则已证$

$否则,又有a_1=p_2a_2$

$其中p_2是不可约元$

$如此继续下去$

$可得真因子序列a,a_1,a_2,\cdots,$

$由条件1,以上序列必终止于有限项$

$设最后一项为a_s$

$则a_s=p_{s+1}必为不可约元$

$\therefore a=p_1p_2\cdots p_{s+1}$

$其中p_i为不可约元,i=1,2,\cdots,s+1$

$分解式的唯一性易证\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：可利用D中任二元的最大公因子的存在性判断D是否为唯一分解整环

定理：整环D是唯一分解整环的充要条件：

1.D中任意真因子序列 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ (其中 $a_{i+1}$ 为 $a_i$ 的真因子, $i=1,2,\cdots$ )只能由有限项

2.D中任意两个元都有最大公因子

例：环 $D=\{a+b\sqrt{-5}|a,b\in Z\}$ 不满足每一个不可约元都是素元,D不是唯一分解整环

例如 $9\in D$ , $9=3\cdot 3=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})$ ,即9的两种不同的不可约元的因子分解

主理想整环

定义：设D是一个整环,若D的每一个理想都是主理想,则称D为主理想整环(PID)

例：整数环Z和 $F[x]$ 都是PID

设I为Z的任一理想,则I中必有一个最小的非负整数a,易证 $I=(a)$ ,故Z是PID

$F[x]$ 的零理想是一个主理想,而非零理想总是由其中次数最小的多项式来生成,故 $F[x]$ 是PID

性质：

1.设 $a,b\in D$ ,则 $(a)\subseteq (b)\Leftrightarrow b|a$

2.设 $a,b\in D$ ,则 $(a)=(b)\Leftrightarrow a\sim b$

引理：设D是PID, $p\in D$ 是不可约元,则p必是素元

证明：

$设p\in D是不可约元$

$\forall a,b\in D,p|ab$

$若p|a,则结论成立$

$若p\nmid a,由a和p生成理想S=(a,p)$

$\because D是PID$

$\therefore \exists d\in D,使S=(a,p)=(d)$

$a\in (d)\Rightarrow d|a$

$p\in (d)\Rightarrow d|p$

$\because p是不可约元$

$\therefore d\sim 1或d\sim p$

$\because p\nmid a$

$\therefore d\sim 1$

$即S=(a,p)=\{ax+py|x,y\in D\}=D$

$\exists x_0,y_0\in D,使得$

$1=ax_0+py_0$

$\therefore b=b\cdot 1=abx_0+pby_0$

$p|ab\Rightarrow p|b\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：主理想整环一定是唯一分解整环

证明：

$设D是PID$

$先证D中任一真因子序列只能有有限项$

$D中一个无限因子序列：$

$a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$

$其中a_{i+1}是a_i的因子$

$则有一个主理想序列：$

$(a_)\subset (a_2)\subset \cdots\subset (a_n)\subset \cdots$

$序列里每一个都是包含的关系$

$令A=\bigcup\limits_{i=1}^\infty(a_i)$

$易证A是D的理想$

$\therefore \exists a\in D,使A=(a)$

$\because a\in A$

$\therefore k\in Z_+,使a\in (a_k)$

$\therefore a_k|a$

$又(a_k)\subseteq A=(a)\Rightarrow a|a_k$

$\therefore a_k\sim a$

$同理可证,\forall i\in Z_+,i\gt k,有a_i\sim a$

$即a_k\sim a_i,\forall i\gt k,i\in Z_+$

$\therefore 序列只有有限项$

$又D中的不可约元一定是素元$

$\therefore D是唯一分解整环\qquad\mathcal{Q.E.D}$

欧式环

定义：设D为整环,若存在一个从D的非零元组成的集合到非负整数集合的映射 $\varphi$ ,使得 $\forall a,b\in D,a\neq 0$ , $\exists q,r\in D$ ,使 $b=aq+r$ ,其中 $r=0$ ,或 $\varphi(r)\lt \varphi(a)$ ,则称D是一个欧式环

例：整数环Z和 $F[x]$ 都是欧式环

Z和 $F[x]$ 中都有带余除法

对于Z,映射 $\varphi$ 可取作 $\varphi(a)=|a|$

对于 $F[x]$ , $\varphi$ 可取作 $\varphi(f(x))=deg(f(x))$

注：欧氏环即能进行某种意义下的带余除法的环,可看作是Z和 $F[x]$ 的推广

定理：欧式环是主理想整环,是唯一分解整环

证明：

$设R是欧式环,I是R的理想$

$若I=\{0\}$

$则I是主理想(0)$

$若I\neq \{0\}$

$令A=\{\varphi(x)|x\in I,x\neq 0\}$

$则A是非负整数的集合$

$由最小数原理$

$A中有最小者,设为d$

$则\exists b\in I,使得$

$d=\varphi(b),b\in I,b\neq 0$

$\forall a\in I,由欧式环的定义$

$\exists q,r\in D,使得$

$a=bq+r$

$其中r=0或\varphi(r)\lt \varphi(b)=d$

$\because r=a-bq\in I,d=\varphi(b)为集合A中的最小值$

$\therefore r=0,即b|a$

$\therefore I=(b)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：不是所有的主理想环都是欧式环

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