初中代数（六）：分式

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分式

一般地，如果 A, B 是两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 $\frac{A}{B}$ 叫做分式，其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母(B≠0)

A, B 都是整式
B 中含有字母
B ≠ 0

分式是不同于整式的另一类有理式，分母中含有字母是分式的主要特点：

整式： $\frac{2x + 1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ (a + b)， $\frac{x + 1}{π}$
分式： $\frac{2x + 1}{3x}$ ， $\frac{x^{2}}{x}$ ， $\frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{a - b}$

分式等于 0，则分子为 0，且分母不为 0

例：分式 $\frac{|x| - 1}{x + 1}$ 值为 0，求 x
解：|x| - 1 = 0，x + 1 ≠ 0
∴ x = 1

分式与分数比较：

分数是数的运算： $\frac{被除数}{除数}$ = 商数，3 ÷ 5 = $\frac{3}{5}$
分式是式子的运算： $\frac{被除式}{除式}$ = 商式，(m + n) ÷ (m - n) = $\frac{m+n}{m-n}$

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以一个不为 0 的数，分数值不变

分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为 0 的整式，分式值不变
$\frac{A}{B}$ = $\frac{AC}{BC}$ ，其中 A B C 是整式，C ≠ 0

分式的约分：把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫做分式的约分

如果分式的分子和分母都是多项式，应该先分解因式，再约分
约分的结果必须是最简分式

最简分式：分子和分母没有公因式的分式，也就是没有办法再约分的分式

分式的通分：把各分式化成与原分式相等的同分母的分式，叫做通分

通分时先要找出各个分式的最简公分母
取各分母的所有因式的最高次幂的乘积作公分母，它叫做最简公分母

分式的乘法法则：分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母
$\frac{a}{b}$ · $\frac{c}{d}$ = $\frac{ac}{bd}$

分式的除法法则：除以一个式子，等于乘以这个式子的倒数
$\frac{a}{b}$ ÷ $\frac{c}{d}$ = $\frac{a}{b}$ × $\frac{d}{c}$ = $\frac{ad}{bc}$

同分母分式相加减，分母不变，分子相加减
$\frac{a}{b}$ ± $\frac{c}{b}$ = $\frac{a±c}{b}$

异分母分式相加减，先通分成同分母分式，再加减
$\frac{a}{b}$ ± $\frac{c}{d}$ = $\frac{ad}{bd}$ ± $\frac{bc}{bd}$ = $\frac{ad ± bc}{bd}$

练习题：

例1：计算 $\frac{a^{2} - 4a + 4}{a^{2} - 2a + 1}$ · $\frac{a - 1}{a^{2} - 4}$

解：原式 = $\frac{(a - 2)^{2}}{(a - 1)^{2}}$ · $\frac{a - 1}{(a + 2)(a - 2)}$
= $\frac{a - 2}{(a + 2)(a - 1)}$

注意：

把分子和分母的多项式进行因式分解，方便分式的约分
最后的结果需要写成最简分式

例2：计算 $\frac{1}{49 - m^{2}}$ ÷ $\frac{1}{m^{2} - 7m}$

解：原式 = - $\frac{1}{m^{2} - 49}$ · $\frac{m^{2} - 7m}{1}$
= - $\frac{m(m - 7)}{(m + 7)(m - 7)}$
= - $\frac{m}{m + 7}$

例3：计算 ( $\frac{x}{2y}$ )² · $\frac{y}{x}$

解：原式 = $\frac{x^{2}}{4y^{2}}$ · $\frac{y}{x}$
= $\frac{x}{4y}$

例4：计算 $\frac{2a}{a^{2} - 4}$ - $\frac{1}{a - 2}$

解：原式 = $\frac{2a}{(a + 2)(a - 2)}$ - $\frac{1}{a - 2}$
= $\frac{2a}{(a + 2)(a - 2)}$ - $\frac{a + 2}{(a + 2)(a - 2)}$
= $\frac{2a - a - 2}{(a + 2)(a - 2)}$
= $\frac{a - 2}{(a + 2)(a - 2)}$
= $\frac{1}{a + 2}$

例5：计算 $\frac{1}{a - 1}$ + $\frac{2}{1 - a^{2}}$

解：原式 = $\frac{1}{a - 1}$ - $\frac{2}{a^{2} - 1}$
= $\frac{1}{a - 1}$ - $\frac{2}{(a + 1)(a - 1)}$
= $\frac{a + 1}{(a + 1)(a - 1)}$ - $\frac{2}{(a + 1)(a - 1)}$
= $\frac{a - 1}{(a + 1)(a - 1)}$
= $\frac{1}{a + 1}$