与测度和集合论相关的一个小问题的思考

我们都知道，R可以用可数多个区间取不交并得到。这些区间的测度毫无疑问都是确定的正实数。

由此我连想到，R可不可能由不可数多个测度大于0的集合取不交并得到呢？

首先我能想到的是，这些集合毫无疑问必须是cantor集或者类似cantor集的集合，或者最多有有限多个这不是cantor集合，否则的话一定只能由可数多个取不交并得到。

那么接下来要怎么办呢？希望有人能够帮我解决这个问题，或者讨论一下也好。