一、一杯水为何存在？

你每天都会喝水，但你有没有想过，「一杯水」为什么会存在？

或者换句话说，这杯水为什么可以以一个「个体」的形式存在？

要知道，一杯水是由数不清的水分子构成的，并没有谁给这些水分子贴上标签——「它们都属于这杯水」。而且，它的边界似乎也并不清楚——在水面附近，水分子不断的飞出、飞回，好像根本没有边界一样。

空气、灰尘，也都是这样，从最底层的粒子来看，好像都可以「取消」这个几个概念，而只用分子、微粒代替一样。

那我们为何要将它看作一个单独的个体呢？而不是看作一个个水分子呢？

因为单个水分子的有些行为，在宏观的尺度几乎没有影响。

水分子越多，单个的水分子就越来越不重要，而它们整体的行为则开始占了主导。空气也是这样，数量越多，单个分子就越来越不重要。正因如此，我们才可以讨论「空气」。

但正是由于数量越多，单个部分就越不重要的特性，我们可以把它们看作一个整体。

注意这里就有了一个断层——底层的行为，与宏观行为之间的断层。水分子和气体分子的运动，都是高度随机的。而一杯水则非常平静，又容易预测，是一个非常大的差异。

所以说，在尺度的增长过程中，有的性质保留了下来，有的性质则渐渐消失了。

造成这一切的，不是什么高深的物理定律，而是简单的统计学规律：「大数定律」。

举一个简单的例子：你投1000次硬币，那正面/反面的比例会非常接近1:1，如果投10次，差别则可能非常大；这其实就体现了大数定律的思想：对独立的随机变量反复抽样，最终抽样的频率会接近于概率。

一杯水中的情形与投硬币非常相似，每个水分子都有很多随机行为，比如随机的热运动，它们是相互独立的；也有非随机的行为，比如接近时产生斥力从而发生碰撞，这些运动则会有互相之间的影响。

根据大数定律，随着数量的增加，随机热运动产生的影响会渐渐消失；而非独立的行为，比如分子之间的作用力导致的行为，则会占据主导地位。而后者的行为，则会在更大的宏观尺度上产生影响。

正是由于上述的原因，我们才可以说这里有「一杯水」。

但大数定律并不能解释所有的涌现行为，比如屏幕。

屏幕如何显示图像？

此时此刻，你正在看这句话、这篇文章。但有一个问题：你是如何看到屏幕上的字的？

要知道，如果你在更小的尺度观察，它们都是一个个的像素点。而尺度一大，它们就变成了字。这与一杯水、一团气完全不一样：尺度增大了之后，我们能获得更多的信息了。我们不能像处理水分子那样，把像素完全平均，因为这样我们就会损失掉绝大多数的信息。

差别究竟在哪里呢？在于关联。

像素之间是可以有关联的，这个关联并不是来自于显示器的结构，而是来自于我们的理解。

一个单独的像素，我们可能会理解成一个点，也可能理解成一个噪点、坏点。两个像素连在一起，就更有可能是一条线，当然也有可能是随机的噪点。但一百个像素连成一条呢？我们就会非常确定——那就是一条线。各种直线、曲线组合在一起，就会让我们获得更多的信息，比如产生可以阅读的文字。

在这个过程中，大数定律并不起作用。因为像素点之间不会互相平均掉，反而会相互加强——几百个像素连成的线，它「是一条线」的可信度就远远高于几个像素连成的线。之所以如此，都是因为在我们的理解中，像素之间是有关联的，而这些关联又是可以互相加强的，从而在大尺度上涌现出了更多的意义。

注：有的了解信息论的人，可能会觉得上面说的不对，这种尺度扩张的过程是会损失很多信息的。但如果将像素点引入随机性，那么「一条线」的概率就远远低于「随机点」的概率，对应的，在这个系综（或者叫等价集合）中，这一条线所包含的信息就远远高于随机的点。这里的关键是承认随机性。

关联，可以超越大数定律，产生更为复杂的行为。

商店与银行的故事：负反馈与正反馈

下面我们可以讨论一些更为复杂的问题了，比如社交网络、鸟群、计算。要讨论这些系统，我们还要引入一个概念，就是「反馈」。

反馈非常好理解，你跟朋友说话，你朋友的行为就是反馈，这个行为甚至不需要针对你自己，因为即便是作用于其他对象，也可以看作是对「系统」的反馈。

举个例子，现在有100个人要去，两个商店，A和B。他们有两种策略：

1. 每个人随机的去AB商店之一，概率是1:1；

2. 每个人都尽量选择去人少的商店。

第一个策略的结果很容易猜到，那就是AB两个商店的人数会非常相近，这是大数定律的结果，前面提到过。

第二个策略虽然不一样，但结果还是一样的，AB商店的人数也会非常相近。我们可以这样理解，如果某一时刻A商店人多，而B商店人少，那么后来的人都会尽量选择去B，进而AB之间的差异就被填平了。最终，两个商店的人数会非常接近。这就是一个负反馈的过程。

结果虽然相同，但原理大不一样。后者对于外界的扰动是有适应性的：假设突然给A商店加入30个人，由于人们都愿意去人少的店，很快两个店的人数就会再次平衡。而策略1则不能适应。

这就是反馈的力量——反馈可以让系统具有适应性。

注：而从更抽象的角度看，反馈可以看作一种计算以及信息的传播，正是由于信息可以在系统中广泛传播，又可以得到计算，整个系统才会被连成一体，才会有所反应。

但是，负反馈得到的结果是非常容易预测的，那就是「平衡」。但生命以及社会中，有很多不平衡的结构，它们是无法用负反馈得到解释的。比如人体的结构，比如社会的结构，都无法单独用负反馈来解释。

我们需要引入正反馈。

一个著名的「正反馈」的例子，就是社交网络。比如在微博上，粉丝数很多的「大V」曝光率也很大，新加入的用户就更容易看到这些「大V」，相应的，关注他们的概率也更大。

知乎的关注者数量分布，注意是双对数坐标

这就会导致「超级大V」的产生。有的微博头部用户甚至有几千万的粉丝数。如果每个人都完全平等、随机的关注别人，那也会产生粉丝数很多的「大V」，但结构会完全不一样，「超级大V」会比现在少得多，大部分用户的粉丝数都处在适中的范围内。

为了解释这个现象，网络科学家Barabasi提出了「优先连接模型」，引入了「用户更容易关注粉丝数更多用户」的正反馈机制。非常好的模拟了很多社交网络。顺便多说一句，在很多复杂系统中，我们都可以看到幂律的行为，这些行为或多或少都与正反馈有关。

正反馈的机制不仅仅可以模拟一些特定的结构，它还可以与负反馈结合，形成「智能」的系统。

Conway提出的「生命游戏」就是这样的一个系统。它是一个运行在棋盘格上的模型，每个格子可以是黑色的（生），也可以是白色的（死），它的规则是这样的：

1. 如果一个黑色格子周围的邻居少于两个，那它就会因孤单而死（正反馈）；

2. 如果一个黑色格子周围的邻居大于三个，那它就会因拥挤而亡（负反馈）；

3. 如果一个白色格子周围恰好有三个黑色格子，那这里就会出生一个黑色格子（正反馈）；

4. 其余情况则不变。

可以看到，它是正反馈与负反馈的结合，但它的行为却极为复杂：

生命游戏的演化图像

事实上，它的行为不是「一般的复杂」，Conway的生命游戏系统是「图灵完备」的。这意味着，我们可以在「生命游戏」中构造出一台通用计算机！从而可以运行任何算法，这如果按照Wolfram的标准，它就已经达到了「复杂性的极限」了。

图灵完备、计算等概念这里不多叙述，我们还是看「反馈」。为什么既要正反馈，又要负反馈呢？

因为纯粹的正反馈会导致系统崩溃，比如说，如果气体膨胀的时候气压还会增加，那这个系统就会急速膨胀，最终不受控制。

而纯粹的负反馈又会非常无趣，因为最终会达致一个平衡态。

只有正反馈与负反馈的结合，才最可以涌现出复杂性。

大数定律的用处

我在一开始提到了大数定律，讲到了它对于「一杯水的存在」的意义。而后面说到了一些更有意思的内容：反馈、生命游戏、图灵完备……

有的人现在可能会觉得，大数定律太过于平常，在复杂系统中毫无意义。是这样的吗？答案是否定的，这里我想举一个例子来说明：

北美洲有一种蝴蝶，叫做「美洲帝王蝶」，每年气候寒冷的时候，它们就会从加拿大的东南部，迁徙到墨西哥中部的米乔坎州，路途上千公里，而最终却能聚集在这么小、这么确定的地方。

它们靠什么来导航呢？

已有的研究表明，它们会使用地磁场、地面的信息来导航。但这些研究都没有解释一个现象，那就是它们的路线非常直。

对于飞行的群体，比如鸟群、蝴蝶群等，科学家早已提出了很多模型，比如基于多主体（Agent-based model）的模型，可以很好的模拟鸟群的飞行。然而它们都没有告诉我们：这些群体到底是如何保持方向的？

墨西哥学者Carlos M. Hernandez-Suarez最近提出了一个理论，用简单的模型解释了群体导航的原理：

想象一个随机行走的过程，如果只有一个粒子，那它的路径就是非常随机的。

而如果有两个粒子，它们的行为则变成这样：

1. 首先按照一定概率 theta 去走向另一个粒子；

2. 还有 1-theta 的概率做随机行走。

使用不同theta值的随机行走模型，分别对应theta = 0, 0.1, 0.2

但越从众，导航就越精确吗？可不见得。前面说到了反馈的思想，这里的这个行为就是正反馈，这意味着如果有偶然的偏航，正反馈会加大这种偏航的行为。所以单纯的正反馈是不行的，越从众，群体的行为可能就越无法预料。

这时需要什么呢？需要有一部分个体保持随机的行走（每次随机的修改一点自己的方向），不受其他个体影响。这时群体就既能聚集成团，又能保持方向。

作者对这个结果的解释似乎还停在动力学（dynamic）的层面，但我们其实可以从大数定律的角度去理解：虽然每个个体方向的变化都是随机的，但根据大数定律，它们整体会有一个「记忆」，也就是它们的平均方向。这个记忆会非常稳定，而其他「从众」的个体，则可以从这个记忆中得知正确的方向。换句话说，从众概率 theta 如果在一个合适的位置，那这个群体中就会有一部分个体，通过随机行走来储存正确的方向，实现长程的导航。

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涌现还有很多尚未解决的问题，比如层级如何出现？又如何分辨层级？一个系统中是否存在一个「特殊的尺度」？在这个尺度上，系统展现出明确、复杂的因果关系。在这个尺度下，行为混沌而难以理解，在这个尺度上，则是整体的行为，对于理解规律帮助不大。这些都是现在尚未完全解决的问题，后面会写一些文章慢慢讨论，欢迎关注。

参考文献

[1] Miller, John H, and Scott E Page. Complex Adaptive Systems: An Introduction to Computational Models of Social Life. Vol. 17. Princeton university press, 2009.

[2] Barabási, Albert-László, and Réka Albert. "Emergence of scaling in random networks." science 286.5439 (1999): 509-512.

[3] Hernandez-Suarez, Carlos M. "Aggregation is the key to succeed in random walks." Mathematical biosciences 279 (2016): 33-37.