2019-04-29

2019-05-01 本文已影响0人快乐的大脚aaa

非齐次线性方程组的解
定理：设
- 1、 $Ax = b$ 有解 $\iff$ $r(A) = r(A,b)$
- 2、若 $r(A) = r(A,b) = r$ ，则 $Ax = b$ 有唯一解 $\iff$ $r = n$ 。
非齐次线性方程组解的结构
命题：设 $A = (a_{ij})_{s\times n}$
- 1、若 $\gamma_1,\gamma_2$ 是 $Ax = b$ 的解 $\iff$ , $\gamma_1-\gamma_2$ 是 $Ax = 0$ 的解
- 2、若 $\eta$ 是 $Ax = 0$ 的解， $\gamma$ 是 $Ax = b$ 的解，则 $\gamma+\eta$ 是 $Ax = b$ 的解。
定理：设 $r(A_{s\times n}) = r$ , $\gamma_0$ 是 $Ax = b$ 的给定的解， $\eta_1,\eta_2,...,\eta_{n-r}$ 是 $Ax = 0$ 的基础解系，则 $Ax = b$ 的通解为 $\gamma_0+k_1\eta_1+...+k_{n-r}\eta_{n-r}$
向量组的极大无关组的计算
- 若是列向量直接进行初等行变换，将具有非零首元的列拿出来即为最大无关组（线性无关，线性表示）
- 若是行向量需要进行转置之后进行求解
线性方程组的最小二乘解
- $x_0\in R^n,\lVert b-Ax_0\rVert = min_{x\in R^n}\lVert b-Ax_0\rVert$ ，称 $x_0$ 是 $Ax = b$ 的最小二乘解。
- 定理： $x_0$ 是 $Ax = b$ 的最小二乘解 $\iff$ $x_0$ 满足 $A^TAx_0 = A^Tb$