指数增长

前两天跟多多复习指数函数，把一次、二次函数和指数函数图像放在一起比较，下意识求了一下导数，弄清楚了一些问题。

给定一个随时间呈指数增长的变量 ，其增长速度为 。这是说指数函数的特点是， 的增长率跟当下 的水平成正比（或者线性关系）。而且二阶、更高阶效应仍然取决于，这是幂函数所不能比的。

那么指数函数刻画的是现实中的什么过程？复利效应是常见的例子：一个时间点上财富的增殖速度，取决于当下财富的水平，因为当下的每一分钱都在产生回报。

指数函数有个特点，就是在 达到一定水平之前，有一段增长非常缓慢的时期，比线性增长还要慢。把时间拉长了看，那段时间就像没增长一样。出现这个平的阶段，是因为 的积累需要一个过程，或者说，这个平的阶段就是在积累 （线性或者抛物线增长就不需要这种积累，因为增长速度只跟时间有关）。没有达到一定水平之前，增长速度上不来，可一旦达到那个水平，指数便开始发挥威力，快速超过线性函数和幂函数，而且距离越拉越远。

指数增长能带给我们什么启示呢？鸡汤地说，财富积累最初会有一段很平的阶段，这时你要有耐心，等到了那个水平，只要没有同样呈指数增长的阻碍力量，财富就会出现爆发。

所以财富爆发比别人都早的人，积累也比别人都早。

另一个常见的指数过程是生物的繁殖，由于当下每个个体都要繁衍下一代，个体数量增长速度，就取决于当下个体的数量。不受自然资源限制的微生物，尤其如此。所以，前面的逻辑和结论，把wealth换成virus，也一样。

我从一开始就没想讲财富。