树状数组
先解决一些问题
什么是树状数组？
顾名思义，就是用数组来模拟树形结构。那么问题来了，为什么不直接建树？答案是没必要，因为树状数组能处理的问题就没必要建树。
树状数组可以解决什么问题？
大部分基于区间上的更新以及求和问题。
树状数组和线段树的区别？
树状数组可以解决的问题都可以用线段树解决，但线段树可以解决的树状数组不一定能解决。
树状数组的优点和缺点？
修改和查询的复杂度都是O(logN)，而且相比线段树系数要少很多，比传统数组要快，而且容易写。
缺点是遇到复杂的区间问题还是不能解决，功能还是有限。
树状数组的介绍
image
黑色数组代表原来的数组（下面用A[i]代替），红色结构代表我们的树状数组(下面用C[i]代替)，
发现没有，每个位置只有一个方框，令每个位置存的就是子节点的值的和，则有
C[1] = A[1];
C[2] = A[1] + A[2];
C[3] = A[3];
C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4];
C[5] = A[5];
C[6] = A[5] + A[6];
C[7] = A[7];
C[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];
总结一下规律：
C[i] = A[i - 2^k+1] + A[i - 2^k+2] + ... + A[i]; //k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度
比如说，我们要找前7项和，那么应该是SUM = C[7] + C[6] + C[4];
而根据上面的式子，容易的出SUMi = C[i] + C[i-2^k1] + C[(i - 2^k1) - 2^k2] + .....；
2^k该怎么求
很简单，2^k = i&(-i)
分析如下：
这里利用的负数的存储特性，负数是以补码存储的，对于整数运算 x&(-x)有
- 当x为0时，即 0 & 0，结果为0；
- 当x为奇数时，最后一个比特位为1，取反加1没有进位，故x和-x除最后一位外前面的位正好相反，按位与结果为0。结果为1。
- 当x为偶数，且为2的m次方时，x的二进制表示中只有一位是1（从右往左的第m+1位），其右边有m位0，故x取反加1后，从右到左第有m个0，第m+1位及其左边全是1。这样，x& (-x) 得到的就是x。
- 当x为偶数，却不为2的m次方的形式时，可以写作x= y * (2^k)。 其中，y的最低位为1。实际上就是把x用一个奇数左移k位来表示。这时，x的二进制表示最右边有k个0，从右往左第k+1位为1。当对x取反时，最右边的k位0变成1，第k+1位变为0；再加1，最右边的k位就又变成了0，第k+1位因为进位的关系变成了1。左边的位因为没有进位，正好和x原来对应的位上的值相反。二者按位与，得到：第k+1位上为1，左边右边都为0。结果为2^k。
总结一下：x&(-x)，当x为0时结果为0；x为奇数时，结果为1；x为偶数时，结果为x中2的最大次方的因子。
而且这个有一个专门的称呼，叫做lowbit，即取2^k。
如何建立树状数组
上面已经解释了如何用树状数组求区间和，那么如果我们要更新某一个点的值呢，还是一样的，上面说了C[i] = A[i - 2^k+1] + A[i - 2^k+2] + ... + A[i]，那么如果我们更新某个A[i]的值，则会影响到所有包含有A[i]位置。
如果求A[i]包含哪些位置里呢，同理有A[i] 包含于 C[i + 2^k]、C[(i + 2^k) + 2^k]...；
总结一下：
- 若需改变a[i]，则c[i]、c[i+lowbit(i)]、c[i+lowbit(i)+lowbit(i+lowbit(i)]……就是需要改变的c数组中的元素。
- 若需查询s[i]，则c[i]、c[i-lowbit(i)]、c[i-lowbit(i)-lowbit(i-lowbit(i))]……
好，现在已经搞清楚了更新和求和，就可以来建树状数组了。如果上面的求和、更新或者lowbit步骤还没搞懂的化，建议再思考弄懂再往下看。
int n;
int a[1005],c[1005]; //对应原数组和树状数组
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
void updata(int i,int k){ //在i位置加上k
while(i <= n){
c[i] += k;
i += lowbit(i);
}
}
int getsum(int i){ //求A[1 - i]的和
int res = 0;
while(i > 0){
res += c[i];
i -= lowbit(i);
}
return res;
}
参考代码
//树状数组
//530ms
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t, n, m,a, b;
const int M = 5e4 + 5;
int Tree[M];
int lowbit(int x)
{return (x&-x);}
int sum(int x){
int sum = 0;
while(x > 0){
sum += Tree[x];
x -= lowbit(x);
}
//for(int i=x; i; i -= lowbit(i))
// sum += Tree[i];
return sum;
}
void add(int x, int val){
while(x <= n){
Tree[x] += val;
x += lowbit(x);
}
//for(int i=x; i<=n; i+=lowbit(i))
// Tree[i] += val;
}
int main(){
int k = 1;
scanf("%d", &t);
string s;
while(t--)
{
printf("Case %d:\n", k++);
memset(Tree, 0, sizeof(Tree));
scanf("%d", &n);
for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d", &m);
add(i, m);
}
while(cin>>s)
{
if(s == "End")
break;
scanf("%d%d", &a, &b );
if(s[0] == 'Q')
printf("%d\n", sum(b) - sum(a-1));//a~b
else if(s[0] == 'A')
add(a, b);
else
add(a, -b);
}
}
}
