怎么利用导数研究函数的极值？

2020-07-19 本文已影响0人天马无空

利用导数研究函数的极值

导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.

使用情景：一般函数类型

解题步骤：

第一步求出函数 $f(x)$ 的定义域并求出函数 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ ；

第二步求方程 $f'(x)=0$ 的根；

第三步判断 $f'(x)$ 在方程的根的左、右两侧值的符号；

第四步利用结论写出极值.

例1 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}+\ln x$ ，求函数 $f(x)$ 的极值.

【解析】

因为 $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x^2}$ ，

令 $f'(x)=0$ ，得 $x=1$ .

又 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ ，

由 $f'(x)<0$ 解得 $0<x<1$ ，即函数 $(0,1)$ 在上单调递减.

由 $f'(x)>0$ 解得 $x>1$ ，即函数 $(1,+\infty)$ 在上单调递增.

所以 $x=1$ ， $f(x)$ 有极小值，极小值为 $f(1)=1$ ，无极大值.

【总结】求函数的极值的一般步骤如下：首先令 $f'(x)=0$ ，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数 $f(x)$ 的增减性，进而求出函数 $f(x)$ 的极大值和极小值．