高等代数理论基础43：子空间的直和

2019-03-23 本文已影响2人溺于恐

子空间的直和

直和

定义：设 $V_1,V_2$ 是线性空间V的子空间,若 $\forall \alpha\in V_1+V_2$ ,分解式 $\alpha=\alpha_1+\alpha_2(\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2)$ 是唯一的,则称为直和,记作 $V_1\oplus V_2$

例：三维几何空间V中,用 $V_1$ 表示一条通过原点的直线, $V_2$ 表示一张通过原点且与 $V_1$ 垂直的平面,则 $V_1+V_2=V$ 是直和

定理： $V_1+V_2$ 是直和 $\Leftrightarrow$ 等式 $\alpha_1+\alpha_2=0,\alpha_i\in V_i(i=1,2)$ 只在 $\alpha_i$ 全为零向量时才成立

证明：

$即证零向量的分解式是唯一的$

$必要性显然成立$

$充分性$

$设\alpha\in V_1+V_2有两个分解式$

$\alpha=\alpha_1+\alpha_2=\beta_1+\beta_2,\alpha_i,\beta_i\in V_i(i=1,2)$

$则(\alpha_1-\beta_1)+(\alpha_2-\beta_2)=0,\alpha_i-\beta_i\in V_i(i=1,2)$

$\therefore \alpha_i-\beta_i=0,即\alpha_i=\beta_i(i=1,2)$

$即向量\alpha的分解式唯一\qquad\mathcal{Q.E.D}$

推论： $V_1+V_2$ 是直和 $\Leftrightarrow V_1\cap V_2=\{0\}$

证明：

$充分性$

$若\alpha_1+\alpha_2=0,\alpha_i\in V_i(i=1,2)$

$则\alpha_1=-\alpha_2\in V_1\cap V_2$

$\therefore \alpha_1=\alpha_2=0$

$即V_1+V_2是直和$

$必要性$

$\forall \alpha\in V_1\cap V_2,有0=\alpha+(-\alpha),\alpha\in V_1,-\alpha\in V_2$

$\because V_1+V_2是直和$

$\therefore \alpha=-\alpha=0$

$即V_1\cap V_2=\{0\}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：设 $V_1,V_2$ 是V的子空间,令 $W=V_1+V_2$ ,则 $W=V_1\oplus V_2\Leftrightarrow 维(W)=维(V_1)+维(V_2)$

证明：

$\because 维(W)+维(V_1\cap V_2)=维(V_1)+维(V_2)$

$且V_1+V_2为直和\Leftrightarrow V_1\cap V_2=\{0\}$

$\Leftrightarrow 维(V_1\cap V_2)=0$

$\therefore 维(W)=维(V_1)+维(V_2)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：设U是线性空间V的一个子空间,则存在子空间W使 $V=U\oplus W$

证明：

$取U的一组基\alpha_1,\cdots,\alpha_m$

$扩充维V的一组基\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\alpha_{m+1},\cdots,\alpha_n$

$令W=L(\alpha_{m+1},\cdots,\alpha_n)$

$则V=U\oplus W\qquad\mathcal{Q.E.D}$

推广

定义：设 $V_1,V_2,\cdots,V_s$ 是线性空间V的子空间,若 $\forall \alpha\in V_1+V_2+\cdots+V_s$ 的分解式 $\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s,\alpha_i\in V_i(i=1,2,\cdots,s)$ 是唯一的,则该和称为直和,记作 $V_1\oplus V_2\oplus \cdots\oplus V_s$

定理： $V_1,V_2,\cdots,V_s$ 是V的子空间,则下列条件等价

1. $W=\sum V_i$ 是直和

2.零向量的表法唯一

3. $V_i\cap\sum\limits_{j\neq i}V_j=\{0\}(i=1,2,\cdots,s)$

4. $维(W)=\sum维(V_i)$

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