2020-06-02 (correlation function

今天的组会是关于CFT bootstrap的。正好是个契机整理或是解除一些疑惑。

首先关于关联函数的解析性和OPE展开的收敛性的问题。这个问题的答案可以看2001.08778 section 2。

对于欧式的情况，除去一些特殊的情况，关联函数总是解析的：也就是说在cross-ratio的空间里几乎所有点（除去一些measure为0 的点集合），s,t,u总会有一个channel 是收敛的。但是Lorentzian的情况就不是，因为Lotentzian的关联函数是由欧式的做解析延拓得到，所以就有可能解析延拓到s,t,u都不收敛的区域，而且这个区域不是离散的点了，可能是一些extended region。

根据解析函数的定义，OPE展开收敛必定推出关联函数解析，而且这个时候，我们可以用OPE展开来定义关联函数。如果我们从bootstrap的角度出发，那么我们就一直用OPE展开来定义关联函数，这里的OPE展开是指s channel 和 t channel。因为s channel 和t channel 的收敛区域是复平面分别除去（-infty,0）和 （1，infity）的cut，所以我们用s,t channel展开定义的关联函数就是在除去这两个cut的区域是解析的或者holomorphic。称这个解析区域为Rh, 那么我们可以尝试找到一组在Rh上解析的函数的基 （假设适当的无穷远的渐进行为）。这组基对应了对偶就是可以用来做bootstrap的解析泛函。

一个non-trivial 的fact是，虽然关联函数是解析的，但是用来展开的conformal block并不是！所以你任意假设一个spectrum，一般是无法构造出一个解析函数的。比如rational CFT，他的谱的都是特殊的，一个自然的问题我们能不能用解析性来bootstrap出这些谱。这个可能也不是一个well-posed 问题。比如从调和分析群表示论的角度或者说是inversion formula的角度出发，关联函数是由unitary的不可约表示的来展开的，但是表示里的每一个state对应的block也都不是解析的。所以解析性不该看我们用的基还是要看收敛性。