任何读过大学的同学，都多少会接触到傅里叶变换，因为傅里叶变换在很多方面都有应用,只要涉及到信号与系统的地方，都会提及到傅里叶变换，在维基百科中，傅里叶变换描述成一个将时间转换成频率的方法，这似乎有点抽象，本人近期在研究信号与系统过程中，对傅里叶也做了深入了解，由此有空谢谢博客分享下。想了解傅里叶变换的由来，先需了解傅里叶级数。

（一）（周期信号）傅里叶级数

        傅里叶级数是由傅里叶在1807年发表的论文《Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides》首次提出，初始提出的观点是：任何函数能用一系列三角函数的和所表示。其实傅里叶不是第一个提出该想法的人，在1753年伯努利已经提出过：一根弦的实际运动都可以用标准震荡模的线性组合来表示，但是他没有深入探讨，因此，这个概念在数学上没有做深入研究，傅里叶在论文中刚提出这一概念时，反对者多数觉得三角函数无法表示间断点的值，其中最突出的是拉格朗日，这在数学上曾经有一段争议，直到1829年狄利赫里对信号给出若干精确的条件后，傅里叶函数才得以发展。大家可能会担心在应用中遇到超出狄利赫里条件的信号咋办，然而现实中，超出狄利赫里条件的信号几乎不存在，因此傅里叶变换在信号分析中，也得以普及，以及在系统分析，微分方程求取方面得以应用。

        按照傅里叶提出的观点：任何满足狄利克雷条件的周期函数能用一系列三角函数的的和所表示。对于非数学专业，没必要懂得推导过程，自然界中的信号基本上都满足狄利克雷条件，因此在应用上，没有太多的难处，狄利克雷三个条件分别为（参考《信号与系统》）：

        条件一：在任何周期内，x(t)在周期内必须绝对可积，即：

                            这个条件保证了每一个傅里叶系数都是有限值。

        条件二：在任何单个周期内，x(t)的最大值最小值的数目有限。

        条件三：在x(t)的任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在这些不连续点上，函数是有限值。

        三角函数的三要素分别为幅值，频率与相位，根据该观点，假设要表示的周期函数为x(t)，则其三角函数展开式可表示为如下式子：】

公式（1）

        其中，T表示信号的周期，n为连续整数，基频w0=2*pi/T，由于T是x(t)的周期，因此w0是一系列三角函数的最小频率，即基频，φ表示信号的相位。

        根据三角公式，可对正弦函数进行拆分：

公式（2）

        通过该公式，我们可以将x(t)写成如下形式：

公式（3）

        这就是我们傅里叶级数的雏形，即任何周期函数都可以表示成正弦函数与余弦函数的线性叠加。

        同时利用欧拉公式，可对正弦函数与余弦函数可进行以下拆分：

公式（4） 公式（5）

我们对公式（3）可做以下化简：

傅里叶级数化简过程

我们令Cn=an-j*bn,同时合并同类项，则上式可进行进一步化简：

公式（6）

        由此，我们得到了周期函数的两种表现形式，公式（3）中的三角函数表示形式和公式（6）中的指数形式。看到了指数形式，我们是否觉得该形式与傅里叶变换很相像？

        接下来，我们需要求取an,bn,cn与x（t）之间的关系，那么x(t)便能用三角函数或者复指数的线性叠加方式来表示。此处先给出an,bn的公式，其推导过程在后续的其他文章会仔细分析。

傅里叶系数

则x(t)用复指数方式表示为：

公式（7）

        公式（7）便是我们标准的傅里叶级数表达式。

（二）（非周期信号）傅里叶变换

        在上一节的推导过程中，我们从傅里叶所提出的想法：任何周期信号都可以表示成一系列三角级数的和，由此推导出了用三角函数以及复指数表示周期函数x(t)的公式。那么与我们常见的傅里叶变换与反变换有什么关系呢？先给出傅里叶变换与反变换的表达式：

傅里叶变换与反变换

        该变换关系从傅里叶级数公式变换而来，而且傅里叶变换的应用不仅仅限于周期信号，同时适用于非周期信号：

傅里叶级数

        是否还记得，我们上一节中由傅里叶提出的结论推导而来，其中一个重要条件是所表示的函数是周期函数，假设我们使用的函数x(t)的周期无限大，那么该函数便成为非周期函数，我们用y(t)表示非周期函数，则根据傅里叶级数，由于周期变得无限大，那么基频w0=2*pi/T，将变得无限小，此时我们用w表示w0，而n*w0也变为无限小，将其从-N到N的求和将变为从-∞到+∞的积分，其变化过程如下：

傅里叶级数转成傅里叶变换过程

在变换过程中，几点需要说明：

1、当T趋向于无穷大时候，我们的积分变量n与无限小的基频w0相乘，因此在乘式项中表现为变量w，并且由于n从负无穷到正无穷，因此w也相应从负无穷到正无穷

2、2/T该无穷小量，通过用2*pi/T，转化为△w，作为一个无穷小量，用于后面的积分

        两层积分可以还原信号y(t),取第一层对t的积分作为傅里叶变化，外一层的积分作为傅里叶反变换，由此推导出傅里叶变换与反变换的公式。

（三）总结

1、本文从傅里叶提出的想法入手，推导出傅里叶级数，进而推导出傅里叶变换。

2、本文还存在以下缺陷，会在后续的博文中解释说明，并贴在相应问题中：

    （a）未有推导出三角级数系数an,bn以及复指数系数cn表达式的由来；

    （b）未解释狄利克雷条件的限制与傅里叶的关系；

    （c）未有解释傅里叶变换的物理意义；

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