数学思想方法揭秘-33后记18(原创)
这篇继续讲解面向特征和模式识别驱动的解题策略。
文章6月10日上午发表在邹生书数学微信公众号上，面向特征和模式识别驱动的解题策略。发表时删除了庖丁解牛的内容。
数学思维悟道过程如下图，通过自学悟道。那个年代在农村不可能有多少数学参考书，更不可能有校内或校外的课外培训，要悟道数学思维只有自学。小学五年没接触过数学竞赛参考书，初中自学过两本竞赛书，这些竞赛书很少讲思想方法和思维过程，只有干巴巴的解题方法，至于解题方法是怎么想出来的，只有靠自己揣摩，自己提炼其中的数学思想。高中数学几乎完全是自学，不听讲，也不做作业，因为作业太简单，除了考试，自己做黄冈竞赛题。武汉江志老师的两本高中数学竞赛培训参考书(书是从表哥那借来的)有两章是联想、类比思维方法，对我数学思维境界提高帮助较大，波利亚的<<怎样解题>>也很不错。高中从课外书中学习零星的思维学内容，还看佛道、气功、UFO书籍。现在各方面的书籍、培训非常多，但要悟道最好还是买几本好书自学，在实践中总结提炼，自学悟到的才是真正属于自己的。
先学习下<<庖丁解牛>>的部分内容，文白对照如下。
庖丁释刀对曰：“臣之所好者，道也，进乎技矣。始臣之解牛之时，所见无非牛者。三年之后，未尝见全牛也。方今之时，臣以神遇而不以目视，官知止而神欲行。依乎天理，批大郤，导大窾，因其固然，技经肯綮之未尝，而况大軱乎！良庖岁更刀，割也；族庖月更刀，折也。今臣之刀十九年矣，所解数千牛矣，而刀刃若新发于硎。彼节者有间，而刀刃者无厚；以无厚入有间，恢恢乎其于游刃必有余地矣，是以十九年而刀刃若新发于硎。虽然，每至于族，吾见其难为，怵然为戒，视为止，行为迟。动刀甚微，謋然已解，如土委地。提刀而立，为之四顾，为之踌躇满志，善刀而藏之。”
译文：
庖丁放下刀回答说：“臣下(我)所探究的是事物的规律，这已经超过了对于宰牛技术的追求。当初我刚开始宰牛的时候，对于牛体的结构还不了解，无非看见的只是整头的牛。三年之后，见到的是牛的内部肌理筋骨,再也看不见整头的牛了(目无全牛)。宰牛的时候，臣下只是用精神去接触牛的身体就可以了，而不必用眼睛去看，就像视觉停止活动了而全凭精神意愿在活动。依照牛的生理上的天然结构，砍入牛体筋骨相接的缝隙，沿着骨节间的空隙进刀，都是依顺着牛体本来的结构。筋脉经络相连的地方和筋骨结合的地方，尚且不曾拿刀碰到过，更何况大骨呢！（批郤导窾后来变成一句成语，比喻处理问题要善于抓住关键，因势利导。）顺着牛体结构原本的样子去解剖，经脉相连的地方和筋骨相结合的地方都没有碰到，更何妨大骨呢？技术高明的厨工每年换一把刀，是因为他们用刀子去割肉。技术一般的厨工每月换一把刀，是因为他们用刀子去砍骨头。臣下的这把刀已用了十九年了，宰牛数千头，而刀口却像刚从磨刀石上磨出来的一样。牛身上的骨节是有空隙的，可是刀刃却并不厚，用这样薄的刀刃刺入有空隙的骨节，那么在运转刀刃时一定宽绰而有余地了(游刃有余)，因此用了十九年而刀刃仍像刚从磨刀石上磨出来一样。虽然如此，可是每当碰上筋骨交错的地方，我一见那里难以下刀，就十分谨慎而小心翼翼，目光集中，动作放慢。刀子轻轻地动一下，哗啦一声骨肉就已经分离，像一堆泥土散落在地上了。我提起刀站着，为这一成功而得意地四下环顾，一副悠然自得、心满意足的样子。拭好了刀把它收藏起来。”
读了上文，应该明白了三种级别(一般、高明、悟道)厨工的区别。庖丁解牛之道就是顺应牛的身体结构特征，沿着关节的缝隙处动刀。庖丁解牛也比如掌握了事物的客观规律，因势利导顺应客观规律，做事得心应手，运用自如。
数学解题的'解牛之道'是什么？这就是本系列文章要探讨的系列思想方法和解题策略，其中一种重要的解题之道就是面向特征和模式识别驱动的解题策略。
数学对象和数学题中蕴含众多的特征信息和模式信息，例如直角三角形斜边中点(特征点)和中线。这些特征和模式好比牛身体结构中的”缝隙”，它们是解题的题眼和破绽，是指引我们探索解题突破口和解题思路的重要线索和敲门砖，也是解题暗示。抓住这些破绽，象庖丁解牛一样因势利导，从破绽处入手，顺应这些破绽来展开解题思维活动(例如联想、类比、转化、抽象、数形结合、归纳、构造、变换、改造、合情合理猜想等)，优化解题思路，高效地找到解题方法，”动刀甚微，謋然已解，如土委地”，这就是面向特征和模式识别驱动的解题策略。
特征分类
根据不同的标准和维度，数学题中的特征可有多种分类。
按照特征内容，可分为：数值特征、结构特征、形式特征、图形图像特征、题型特征、位置特征、关系特征、范围特征、性质特征、规律特征、过程特征、角色特征。
按照特征所在的位置，可以分为条件(题设)特征、结论特征、中间对象特征(解题过程中的中间对象特征)；
按照表述形式可分为文字特征和(数学)符号特征。
按照特征的范围和特征所属对象的粒度可分为整体特征和局部特征；
按照观察方向可分为横向特征和纵向特征；
按照层次深度可分为表象特征和内在本质特征；
按照普遍性可分为共性特征和个性(差异)特征；
按照特征的易见性，可分为显式特征和隐式特征；
按照特征是否导致解题阻碍可分为正面特征和负面特征(可能是解题者主观认为该特征不利于解题，它制造矛盾和解题障碍，增加解题难度，也可能客观上或大多数人认为它是负面)，对负面特征一般要进行改造、变换或转化，例如代数式换元、几何变换；
按照地位可分为主体特征和辅助特征(约束限制性质的特征)、
还可以分为抽象特征和具体特征、一般特征和特殊特征；
根据数学模式思想， 很多特征例如关系特征和结构特征等也可认为是模式，这也是本文把面向特征和模式的解题策略合并在一起的原因。
如何识别特征信息
如何发现识别特征？这需要良好的观察力，有条理、有目的、系统全面地、敏锐地、正确地观察和比较判断推理来发现题目中蕴含的各种特征。
有时我们对一些数学题束手无策或卡壳，不是我们掌握的知识不多，不是我们的思维能力有多大的问题，而是没有发现或挖掘出隐藏的特征信息，例如没有发现几何题中角度之间的相等关系。我们在此时要梳理下自己目前的解题方案，反问自己还有哪些维度或因素有遗漏，还可能探寻哪些特征信息，有哪些已知条件没有用足没有用好。
面向特征和模式识别驱动的解题
一题多解
基于发现的特征进行发散思维，一题多解。这里用一道求绝对值最小值的例题来讲解基于结构特征和形式特征的联想，得到5种解题方法。
题目如下：
已知x、y为实数，且
图二
图三
识别出题目的结构特征，如能根据结构特征联想到反向柯西不等式，方法1是最快速的。
结合关系思想解题
初中竞赛题.
已知x、y、作为正数，且xyz(x+y+z)=4,求(x+y)(y+z)的最小值。
这题的解题方法见数学思想方法揭秘-20后记5中组合与分解章节。
从上面的讲解可以看出，识别出特征信息后，我们一般是顺应特征或同化(改造)特征，结合合适的思维方式、思想方法、数学方法来处理它们，例如运用联想思维或类比思维，来联想或类比学过的知识或经验。对识别出的特征信息，要通过反问来探寻是否有合适的模式(例如数学理论、数学定理、数学公式、数学方法、惯用法)，也就是要寻找模式来利用它们、来收割它们、来高屋建瓴&高观点地囊括它们统领它们、来改造它们。如果没有找到现成的合适模式，要相信存在未发现或未发明的新模式，勇于打破思维定势，跳出旧有理论和知识的窠臼，发挥创造性思维，通过直觉、合情合理的设想&猜想、抽象、构造、组合、归纳等发现或发明新模式，例如伽罗华发明群论。
