[损失函数]——负对数似然

2021-03-24 本文已影响0人一位学有余力的同学

阅读本文可以了解如下内容：

似然
似然估计
对数似然
负对数似然

1. 似然

在开始之前需要区分一个知识：似然(likelihood)和概率(probability)。概率是一个事件发生的可能性，而似然指的是影响概率的未知参数。也就是说，概率是在该未知参数已知的情况下所得到的结果；而似然是该参数未知，我们需要根据观察结果，来估计概率模型的参数。

用数学方法可以描述为：
假设 $X$ 是离散随机变量，其概率质量函数 $p$ 依赖于参数 $\theta$ ，则：
$L(\theta|x)=p_{\theta}(x)=P_{\theta}(X=x)$
其中 $L(\theta|x)$ 为参数 $\theta$ 的似然函数， $x$ 为随机变量 $X$ 的某一值。^[1]

如果我们发现：
$L(\theta_{1}|x)=P_{\theta_{1}}(X=x)>P_{\theta_{2}}(X=x)=L(\theta_{2}|x)$
那么似然函数就可以反映出这样一个朴素推测：在参数 $\theta_{1}$ 下随机变量 $X$ 取到 $x$ 的可能性大于在参数 $\theta_{2}$ 下随机向量 $X$ 取到 $x$ 的可能性。换句话说，我们更有理由相信，相对于 $\theta_2$ ， $\theta_{1}$ 更有可能是该概率模型的真实参数。^[2]

综上，概率(密度)表达给定 $\theta$ 下样本随机向量 $X=x$ 的可能性，而似然表达了给定样本 $X=x$ 下参数 $\theta_{1}$ (相对于另外的参数 $\theta_{2}$ )为真实值的可能性。我们总是对随机变量的取值谈概率，而在非贝叶斯统计的角度下，参数是一个实数而非随机变量，所以我们一般不谈一个参数的概率。

2. 最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE)

假设我们有一个非常复杂的数据分布 $P_{data}(x)$ ，但是我们不知道该分布的数学表达形式，所以我们需要定义一个分布模型 $P_{G}(x;\theta)$ ，该分布由参数 $\theta$ 决定。
我们的目标是求得参数 $\theta$ 使得定义的分布 $P_{G}(x;\theta)$ 尽可能的接近 $P_{data}(x)$ 。

下面我们来看看最大似然估计如何操作：

从 $P_{data}(x)$ 中采集m个样本 ${x_{1},x_{2},...,x_{m}}$
计算样本的似然函数 $L=\prod_{i=1}^{m}P_{G}(x^{i};\theta)$
求使得似然函数 $L$ 最大的参数 $\theta$ : $\theta^{*}=\arg \max _{\theta}\prod_{i=1}^{m} P_{G}(x^{i};\theta)$

当来自 $P_{data}(x)$ 的样本 ${x_{1},x_{2},...,x_{m}}$ 在 $P_{G}(x;\theta)$ 分布模型出现的概率越高，也就是 $\prod_{i=1}^{m}P_{G}(x^{i};\theta)$ 越大， $P_{G}(x;\theta)$ 和 $P_{data}(x)$ 越接近。^[3]

3. 对数似然

在知道了最大似然估计之后就容易理解对数似然了。从公式可以看到，似然函数是很多个数相乘的形式： $L=\prod_{i=1}^{m}P_{G}(x^{i};\theta)$ 。
然而很多数相乘并不容易计算，也不方便求导。如果我们对它取对数，连乘就会变成连加，计算起来要方便的多，求导也变得更加容易。
$l(\theta)=\sum_{i=1}^{m}\log (P_{G}(x^{i};\theta))$
这样一来就变成了我们非常熟悉的求极值过程， $\theta$ 为自变量，我们需要找到某一个 $\theta$ ，使得 $l(\theta)$ 最大。只需对 $\theta$ 求导然后令导数等于0即可。
最大似然估计的一般步骤如下:
(1) 写出似然函数;
(2) 对似然函数取对数,得到对数似然函数;
(3) 求对数似然函数的关于参数组的偏导数,并令其为0,得到似然方程组;
(4) 解似然方程组,得到参数组的值。

4. 负对数似然(Negative log-likelihood, NLL)^[1]

由于对数似然是对概率分布求对数，概率 $P(x)$ 的值为 $[0,1]$ 区间，取对数后为 $(-\infty ,0]$ 区间。再在前面加个符号，变成 $[0,\infty)$ 区间。
$l(\theta)=-\sum_{i=1}^{m}\log (P_{G}(x^{i};\theta))$
写到这你有没有发现，这个公式不就是交叉熵吗？只是少了一项 $p(x_{i})$ ，但是真实标签的概率为1，所以省掉了。
关于交叉熵的理解可以参考我的另一篇博客。

我们期望似然估计越大越好，取完负号之后就是负对数似然越小越好，因此负对数似然函数可以作为损失函数。

Pytorch中对应的负对数似然损失函数为：

torch.nn.NLLLoss(weight=None, size_average=None, ignore_index=-100, reduce=None, reduction='mean')

值得注意的是，在使用该损失函数的时候并不需要将标签转换成one-hot形式，c类标签，就用c-1个数表示即可。
输入与输出数据的形状：

input: (N,C)
output:(N)
其中N为batch size，C为分类数量。假设batch size为3，有5个类别。我们用一段代码看看torch.nn.NLLLoss()如何使用：

>>> import torch
>>> m = torch.nn.LogSoftmax(dim=1)
>>> loss = torch.nn.NLLLoss()
>>> input = torch.randn(3,5,requires_grad=True)
>>> input
tensor([[ 0.1076, -1.4376, -0.6307,  0.6451, -1.5122],
        [ 1.5105,  0.7662, -1.7587, -1.4581,  1.1357],
        [-1.4673, -0.5111, -0.0779, -0.7404,  1.4447]], requires_grad=True)
>>> target = torch.tensor([1, 0, 4])
>>> output = loss(m(input), target)
>>> output.backward()

计算结果为：

tensor(1.3537)

实际上这段代码计算的是交叉熵，因为在pytorch交叉熵的官方文档中写道^[4]：

This criterion (CrossEntropyLoss) combines LogSoftmax and NLLLoss in one single class.

它先将输入经过log softmax函数，得到一个输出：

>>> data = nn.LogSoftmax(dim=1)(input)
>>> data
tensor([[-1.2812, -2.8264, -2.0195, -0.7437, -2.9010],
        [-0.8118, -1.5561, -4.0810, -3.7804, -1.1866],
        [-3.3349, -2.3787, -1.9455, -2.6080, -0.4229]])

然后根据负对数似然估计的公式，得到如下等式：
$Loss = - (-2.8264 - 0.8118 - 0.4229 )/3 = 1.3537$
和函数计算结果相同。

值得注意的是，nn.NLLLoss()函数虽然叫负对数似然损失函数，但是该函数内部并没有像公式里那样进行了对数计算，而是在激活函数上使用了nn.LogSoftmax()函数，所以nn.NLLLoss()函数只是做了求和取平均然后再取反的计算，在使用时要配合logsoftmax函数一起使用，或者直接使用交叉熵损失函数。

[损失函数]——负对数似然

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2. 最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE)

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4. 负对数似然(Negative log-likelihood, NLL)^[1]

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