高中数学纲目

长方体二面角：2020年全国卷C题19

2021-11-16 本文已影响0人易水樵

长方体二面角：2020年全国卷C题19

19.（12 分）

如图，在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，点 $E,F$ 分别在棱 $DD_1, BB_1$ 上，且 $2DE=ED_1，BF=2FB_1.$

（Ⅰ）证明∶点 $C_1$ 在平面 $AEF$ 内;

（Ⅱ）若 $AB=2，AD=1，AA_1=3$ ，求二面角 $A-EF-A_1$ 的正弦值.

2020年全国卷C

【解答问题Ⅰ】

∵ $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 是长方体，

∴ $AA_1C_1C, \; BB_1D_1D$ 是矩形.

∵ $AC_1,CA_1$ 是矩形 $AA_1C_1C$ 的对角线，∴ $AC_1,CA_1$ 互相平分，其交点同时是这两条线段的中点；

同理， $BD_1,DB_1$ 的交点同时是这两条线段的中点；

∴ $AC_1,CA_1,BD_1,DB_1$ 交于一点；

记该点为 $Q$ .

∵ $2DE=ED_1,\;BF=2FB_1$ , ∴ $DE=FB_1$ 且 $DE//FB_1$ ,

∴ $DEB_1F$ 是平行四边形,

∴ $DB_1,EF$ 相交于 $DB_1$ 的中点，即点 $Q$ .

$Q \subset EF \Rightarrow Q \subset$ 平面 $AEF$ ,

$Q \subset AEF, A \subset AEF \Rightarrow$ 直线 $AQ \subset$ 平面 $AEF$

又∵ $C_1 \subset AQ$ , ∴ 点 $C_1$ 在平面 $AEF$ 内. 证明完毕.

【解答问题Ⅱ：建立坐标系】

以 $A_1$ 为原点建立直角坐标系，以 $AB_1,AD_1,AA_1$ 为 $x,y,z$ 轴.

并以 $\overrightarrow{m} , \overrightarrow{n}$ 分别代表平面 $EFA_1, EFA$ 的法向量；

相关各点坐标如下：

$A_1(0,0,0),\;A(0,0,3)$

$E(0,1,2),\;F(2,0,1)$

$\overrightarrow{A_1E}=(0,1,2),\;\overrightarrow{AE}=(0,1,-1),$

$\overrightarrow{A_1F}=(2,0,1),\;\overrightarrow{AF}=(2,0,-2),$

【解答问题Ⅱ：算法一】

$\overrightarrow{A_1F} \times \overrightarrow{A_1E}=(-1,2,-4),$

$\overrightarrow{AF} \times \overrightarrow{AE}=(2,2,2),$

$\overrightarrow{m} =(-1,2,-4),$

$\overrightarrow{n} =(1,1,1),$

$\dfrac {\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}} {|\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{n}|} = - \dfrac {1} {\sqrt{7}}$

结论：二面角 $A-EF-A_1$ 的正弦值 $\dfrac {\sqrt{42}} {7}$ .

【解答问题Ⅱ：算法二】

$\overrightarrow{A_1F} \cdot \overrightarrow{m}=0,\;\overrightarrow{A_1E} \cdot \overrightarrow{m}=0$ , 所以

$m_y+2m_z=0$

$2m_x+m_z=0$

$\overrightarrow{m}=(1,4,-2)$

$\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{n}=0,\;\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{n}=0$ , 所以

$n_y-n_z=0$

$2n_x-2n_z=0$

$\overrightarrow{n}=(1,1,1)$

$\dfrac {\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}} {|\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{n}|} = \dfrac {1} {\sqrt{7}}$

结论：二面角 $A-EF-A_1$ 的正弦值 $\dfrac {\sqrt{42}} {7}$ .

【提炼与提高】

「如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内。」

这一命题是立体几何的 『四大公理』 之一。

应用这一公理，结合矩形、平行四边形的性质，问题1不难解答。关键是要表达清楚。

问题2比较适合用向量方法解答。为了避免计算中的失误，可以用两种算法，起到验算的效果。

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