R统计学(04): 多项分布

2018-12-15 本文已影响17人 R语言和Python学堂

前面我们介绍了四种离散型概率分布，包括伯努利分布、二项分布、几何分布以及超几何分布，大家可以点击下方链接来回顾：

今天我们介绍另一个离散分布：多项分布(Multinomial distribution)，它是二项分布的推广。

1. 特点

二项分布的试验结果只有两个(成功和失败)，而多项分布的试验结果则多于两个。如果试验的结果有三个，则是三项分布；如果结果有六个，则是六项分布。现实生活中也有很多符合多项分布的例子：例如，扔骰子，结果点数有六种可能(骰子有6个面对应6个不同的点数)；足球比赛的结果有胜、平、负三种。参照二项分布试验的特点，多项分布试验的特点如下：

每次试验有多种可能的结果，但是每种结果只会出现一个；
每种结果都有各自发生的概率，所有结果的发生概率之和为1；
各次试验相互独立，每次试验结果都不受其他各次试验结果的影响。

2. 概率分布

假设某个多项分布试验可能发生结果的数量为k，依据历史数据，每种结果发生的统计概率分别为p1, p2, …, pk。现在进行n次多项分布试验，假设观测到结果a1的次数为x1次，结果a2的次数为x2次，…，结果ak的次数为xk次，那么多项分布的联合概率函数为：

$P(X_1=x_1, X_2=x_2, ..., X_k=x_k)=\frac{n!}{x_1!x_2!···x_k!}{p_1}^{x_1}{p_2}^{x_2}···{p_k}^{x_k}$

多项分布对其每一个结果都有均值和方差，分别为：

$E(x_i)=np_i$

$Var(x_i)=np_i(1-p_i)$

从上可知，多项分布的均值和方差类似于二项分布。

3. R中的实现

在R中，没有特定函数用于多项分布的计算，不过我们可以编写函数来完成相关计算。

3.1 计算概率分布

下面的multi函数就是用来计算多项分布的概率分布的，其中p, x均为向量，分别代表各试验结果的概率和发生次数，即p=c(p1, p2, ..., pk), x=c(x1, x2, ..., xk)。

multi <- function(p, x) {
  n <- sum(x)   ##试验次数

  f1 <- prod(p^x)
  f2 <- prod(factorial(x))
  factorial(n)*f1/f2      ##返回值
}

来看个实际的例子：

巴萨 VS 皇马

西班牙足球甲级联赛(简称“西甲”)已经成为世界上最高水平的足球联赛之一，吸引了世界球迷的目光，巴萨与皇马的德比之战更是令世界瞩目。截止目前，巴萨在历史上和皇马交手178次，拿到了71胜35平72负的战绩。如果接下来巴萨与皇马将进行6场比赛，求巴萨3胜1平2负的概率是多少？

分析：根据历史数据，我们可统计得到每种结果的统计概率，巴萨胜、平、负三种结果的统计概率分别为71/178、35/178和72/178。假定在新的比赛开始前，胜平负的历史统计概率保持不变（实际上，随着球队各种情况的变化，胜平负的概率会发生变化），运用多项分布（三项分布）的概率计算公式可以计算得到6场比赛中巴萨3胜1平2负的概率为：

> p <- c(71, 35, 72)/178
> x <- c(3, 1, 2)

> multi(p, x)
[1] 0.1225009

从计算结果可知，巴萨获得3胜1平2负的概率是比较小的(约12%)。巴萨与皇马的德比之战吸引人们高度关注的因素有很多，比如有强强对话、场面火爆、球星云集等，其中有一个非常重要的因素在于比赛结果难以预测，充满了偶然性，比赛不同结果的发生概率小恰恰说明了这一点。

3.2 模拟试验过程

利用sample()函数，我们可以模拟试验过程。还是用上面的例子来说明，假如巴萨将与皇马比赛10000次，巴萨的战绩将如何？

sample()函数的用法可参考R语言初级教程(17): 随机数、随机抽样这篇博客

> a <- c('胜', '平', '负') 
> p <- c(71, 35, 72)/178  ##巴萨胜、平、负各概率值
> n <- 10000  ##比赛场数

> set.seed(18)
> result <- sample(a, n, replace=TRUE, prob=p)  ##replace=TRUE表示可重复抽样

> head(result, 20)  ##前20场比赛的结果
 [1] "平" "胜" "平" "负" "负" "胜" "负" "胜" "负" "负" "胜" "胜" "负" "负" "平" "负"
[17] "胜" "负" "平" "负"
> table(result)  ## 计数
result
  负   平   胜 
4022 1958 4020 

> n*p[1]  ##巴萨获胜场数的理论值
[1] 3988.764
> n*p[2]  ##巴萨打平场数的理论值
[1] 1966.292
> n*p[3]  ##巴萨输皇马场数的理论值
[1] 4044.944

计算结果显示，当比赛次数足够大(这里为10000)，巴萨战绩与理论值很接近。

多项分布的介绍就到此结束，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持本公众号。

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