2022-07-19 Modeling of phenotype

观察到减少的特征向量可以解释为ni试验中的ki成功的二项式对，来处理“表型负担”，只要ki远少于表型相关TCRβs的总数，就可以避免饱和。构建以ni和分类（class assignment）为条件的ki生成模型，可以保留深度采样信息。ci ∈ {0,1}定义为样本（人）的分类。样本中任何独特TCRβ与表型相关的概率被建模为一个二项式比例pi。我们假设pi值是独立的，每个类中的相同分布的随机变量如下。

在分类的条件下，样本（人）有了β二项分布：

（β二项分布有R包)
R：β-二项式分布 (r-project.org)

B（·，·）表示beta函数。参数{α0，β0}和{α1，β1}分别参数化了表型阴性和表型阳性样本的之前的beta分布。这些可以通过最大化所有受试者的联合概率来确定。

形成对数似然函数，去掉只依赖于数据的项，并利用参数的可分性，最大化

Nl为具有l类的受试者数量。这些目标函数都有梯度

其中，ψ（.）表示数字矩阵函数。采用标准的数值梯度上升方法来确定先前分类的β。

对每个类中采样最深的样本(最大的ni)使用拉普拉斯平滑来规范可能性。CMV数据估计先验密度在补充图4。

从所有训练对象的联合模型中确定了这些似然参数，我们现在考虑一个表型负担为k’，n’的新样本，在训练数据中的拉普拉斯正则化分类计数中近似的先验分类，对新样本的每个分类的后验概率为

分类的对数后验优势比为

决策函数由这个量上的阈值θ定义

最大后验(MAP)分类对应于θ=0

现在定义了分类器，我们可以解决一个模型选择问题。在识别与表型相关的TCRβs时，我们必须应用一个P值阈值。这个阈值是分类器的一个超参数。为了选择一个最优的P值阈值，我们在一个P值阈值范围内对训练数据进行详尽的留一交叉验证，评估每个P值的交叉熵损失。对于每一个样本，我们在给定的阈值（特征选择）下重新计算表型相关的TCRβs，仅使用其余的样本来拟合似然参数（{α0，β0}和{α1，β1}）。然后，我们使用这个分类器来估计该样本的分类概率。在所有受试者上迭代这个过程，可以得到训练集中每个样本的交叉验证分类概率。
qi（φ）表示由样本i构建的分类器下，从特征选择和训练中得到ci=1的概率。并使用φ的P值阈值来识别与表型相关的TCRβs。使用P值阈值φ将所有受试者的平均交叉熵损失定义为

通过计算离散P值集φ上的损失函数，可以近似于一个最小值。

交叉熵损失是衡量分类误差的最佳指标，因为它利用了生成模型提供的概率信息，而不是决策函数本身。最小化L（φ）等于最大化分类向量c的联合似然，其中每个受试者i的概率是从受试者i的模型计算出来的。在建模CMV数据时，使用了P值的对数网格（logarithmic grid），

表明
是近似最优