高中数学纲目

初高中衔接讲座：反证法

2022-04-11 本文已影响0人易水樵

反证法是数学中重要的证明方法. 人教版的初中教材介绍了这一方法；但是，中考数学很少用到反证法。因此，在开始高中的学习前复习一下反证法，是很有好处的.

$\boxed{\mathbb{Q6.}}$ 证明 $\sqrt{2}$ 是无理数

$\sqrt{2}$ 是人类最早发现的无理数。无理数与有理数的区别在于：任何一个有理数，必定可以表示为两个整数的比值。就是说，对于任意的有理数 $q$ , 必定存在整数 $m,n$ , 使得： $q=\dfrac{m}{n}$ . 而对于 $\sqrt{2}$ 则不可能找到这样的整数.

求证： $\sqrt{2}$ 不是有理数。

【证明】

假设 $\sqrt{2}$ 是有理数，则存在一对互质的整数 $m,n$ 使得 $\dfrac{m}{n} = \sqrt{2}$ ，于是：

$\dfrac{m^2}{n^2}=2 \;\Rightarrow\; m^2=2n^2$

∴ $m^2$ 是偶数，∴ $m$ 是偶数，

∴ $m=2k$ , $k$ 是另外一个整数，

∴ $m^2=4k^2$ ， $n^2=2k^2$ ，

∴ $n^2$ 是偶数，

∴ $n$ 是偶数， $2$ 是 $m,n$ 的公因数.

这就与前面的假设冲突.

∴ $\sqrt{2}$ 不可能用两个整数之比表示. 证明完毕.

$\boxed{\mathbb{Q7.}}$ 证明：素数（也就是质数）的数量是无限的。

提示：用反证法。

【证明】

假设素数的数量是有限的，则可以整理一份从小到大排列的素数清单：

$P_1,P_2,P_3,\cdots,P_m$

$P_m$ 代表最大的素数，凡是大于它的数，都是合数；都可以用清单内的素数的乘积表示.

令 $Q=P_1\times P_2 \times P_3 \times \cdots P_m + 1$ ,

则 $Q \gt P_m$ ,

显然， $Q$ 不可以被以上清单内的任何一个素数整除，也就无法用清单内的素数的乘积表示.

所以，前述的假设 “素数数量有限” 不能成立.

证明完毕.

【提炼与提高】

$\sqrt{2}$ 无法表示为两个整数的比值.

不存在最大的素数.

这两个命题是古希腊人的重要遗产，同时，也是反证法的经典例子. 类似这样既基本又重要的知识，每个想上大学的年轻人都必须要牢记.

关于反证法，从教版的教科书中这样描述：

不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 这种方法叫做反证法.

教科书用一个几何命题作实例，介绍了反证法. 详情请看：《九年级上册》第二十四章第2节.

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