线性回归模型原理与推导

什么是线性回归？

线性回归是在假设特征满足线性关系，根据给定的训练数据训练一个模型，并用此模型进行预测。其函数形式为：

向量的表达形式为：

线性回归模型是如何进行训练？

首先我们已经确定好了线性回归模型的形式了，训练的时候提供给我们的是数据，为了能够去拟合提供的数据，模型需要去改变参数的值，通过一定次数的迭代优化，最终找到了最优参数使得，一次次的迭代优化的过程便是模型的训练。

模型是根据什么进行训练？

目标函数，模型训练的目的是要最小化损失函数或者最大化预测概率。线性回归模型一般是最小化损失函数，它所用的损失函数可能是平方误差，即：

wenyilab

如何使这个目标函数最小呢？

可以对这个函数进行求导，首先我们需要将模型公式代入目标函数中：

wenyilab
我们希望这个函数在 wenyilab
wenyilab
很明显，公式中的参数m，b，w都与i无关，简化时可以直接提出来。
令这两个偏导等于0，求解方程组，解得：
wenyilab
wenyilab
这样我们通过提供的数据求出 wenyilab

那么标签矩阵可以用mx1来表示：

wenyilab
为了构建线性模型，我们还需要1xn的参数矩阵：
wenyilab
（当然还需要有bias，为了推导方便没有加）

所以我们的线性模型为：

wenyilab
h(x)表示假设，即hypothesis。通过矩阵乘法，我们知道结果是一个n×1的矩阵。 跟前面推导单变量的线性回归模型时一样，列出目标函数：
wenyilab
这里的1/2并无太大意义，只是为了求导时能将参数正好消掉而加上。目标函数代表了误差，我们希望它尽可能地小，所以要对它求偏导并令偏导数为0，求解方程。
在求偏导之前先展开一下：
wenyilab
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在求导之前，提供几个常见的矩阵求导公式： wenyilab
wenyilab
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接下来开始对目标函数求关于参数的偏导：

wenyilab
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最后简化为：
wenyilab

令偏导为0：

wenyilab
最后求出参数解：
wenyilab
好的，大功告成