随机变量之和的统计量

2019-11-15 本文已影响0人虚胖一场

用随机变量 $X$ 表示每天的销量，其期望为 $\mathbb{E}X$ ，方差为 $\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X-\mathbb{E}X)^2$ 。

考虑 $n$ 天的总销量 $Y$ 。

方案一：认为每天销量都一样，这显然是不恰当的。
令 $Y=nX$ ，则
$\begin{split} \mathrm{Var}(Y) &=\mathrm{Var}(nX)\\ &=\mathbb{E}[nX-\mathbb{E} (nX)]^2\\ &=\mathbb{E}[nX-n\mathbb{E}X]^2\\ &=\mathbb{E}[n(X-\mathbb{E}X)]^2\\ &=n^2\mathbb{E}(X-\mathbb{E}X)^2\\ &=n^2\mathrm{Var}(X) \end{split}$
方案二：每天的销量不一样，这才是更合理的假设。
令 $Y=\sum_{i=1}^nX_i$ ，则
$\begin{split} \mathrm{Var}(Y) &= \mathrm{Var}\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)\\ &=\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^nX_i-\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)\right]^2\\ &=\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^nX_i-\sum_{i=1}^n\mathbb{E}X_i\right]^2\\ &=\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n(X_i-\mathbb{E}X_i)\right]^2\\ &=\sum_{i=1}^n\mathbb{E}[X_i-\mathbb{E}X_i]^2+\sum_{i\neq j}\mathbb{E}[(X_i-\mathbb{E}X_i)(X_j-\mathbb{E} X_j)]\\ &=\sum_{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i) + \sum_{i\neq j}\mathrm{Cov}(X_i, X_j) \end{split}$
由于 $X_i$ 独立同分布，故
$\begin{split} \mathrm{Var}(Y) &= \sum_{i=1}^n\mathrm{Var} (X_i)\\ &= \sum_{i=1}^n\mathrm{Var}(X)\\ &=n\mathrm{Var}(X) \end{split}$

可以看到，如果采用错误的定义来预估 $n$ 天的总销量，则方差会比真实的变大 $n$ 倍，亦即标准差会变大 $\sqrt n$ 倍。